Ejercicio 4.5 (Resistencia)

Solapas principales


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Resolucion:

Utilizando la ecuacion de Laplace. El laplaciano del potencial es igual a cero.
 
\Delta V=\nabla^2 V=0
 
Como es un cable coaxial utilizaremos coordenadas cilindricas, lo que se produce es una variacion del potencial en el sentido del radio.
 
\frac{1}{r}\cdot \frac{\partial{}}{\partial{r}}\left(r\cdot \frac{\partial{V}}{\partial{r}}\right)=0
\frac{r\cdot \partial{V}}{\partial{r}}=C_1
V=C_1\cdot ln(r)+C_2
 
Suponemos que la diferencia potencial es Vo y como la intensidad de fugas va del conductor interno al externo suponemos que el potencial en el conductor interno es Vo y en el externo 0.
 
V_o=C_1\cdot ln(a)+C_2
 
0=C_1\cdot ln(b)+C_2
 
C_2=-C_1\cdot ln(b)
 
V_o=C_1\cdot ln(a)-C_1\cdot ln(b)=C_1\cdot ln\left(\frac{a}{b}\right)
 
C_1=\frac{V_o}{ln\left(\frac{a}{b}\right)}
 
C_2=-\frac{V_o}{ln\left(\frac{a}{b}\right)}\cdot ln(b)
 
Con lo que el potencial entre los conductores del coaxial nos queda:
 
V=\frac{V_o}{ln\left(\frac{a}{b}\right)}\cdot ln(r)-\frac{V_o}{ln\left(\frac{a}{b}\right)}\cdot ln(b)
 
 
La intensidad de campo, como el potencial varia en sentido radial, utilizando las coordenadas cilindricas:
 
\bar{E}=-\nabla V=\frac{\partial {V}}{\partial{r}}\cdot \bar{a}_r =-\frac{V_o}{ln\left(\frac{a}{b}\right)}\cdot \frac{1}{r}\cdot \bar{a}_r
 
 
La intensidad de corriente de fuga viene dada por:
 
I=\int J \,dS=\int \sigma\cdot \bar{E} \, d\bar{S}=\int_{0}^{2\cdot \pi} \sigma\cdot -\frac{V_o}{ln\left(\frac{a}{b}\right)}\cdot \frac{1}{r} \cdot r\cdot d\phi\,dz=L\cdot 2\cdot \pi  \cdot \sigma\cdot \frac{V_o}{ln\left(\frac{b}{a}\right)}
 
 
Con lo que la resistencia de fuga por unidad de longitud en el coaxial es:
 
R_1=\frac{V_o}{I}=\frac{V_o}{2\cdot \pi \cdot \sigma \cdot \frac{V_o}{ln\left(\frac{b}{a}\right)}}=\frac{1}{2\cdot \pi \cdot \sigma \cdot \frac{1}{ln\left(\frac{b}{a}\right)}}=\frac{ln\left(\frac{b}{a}\right)}{2\cdot \pi \cdot \sigma}\,\frac{\Omega}{m}
 
 
 

 

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