Ejercicio 5.9 (Energia magnetica)

Solapas principales

Resolucion:

a) La energia almacenada en el toroidal viene dada por:
 
W_m=\frac{1}{2}\cdot \int \frac{B^2}{\mu_o}\,dV
 
 
La densidad de flujo magnetico en el toroidal viene dada por:
 
B=\frac{\mu_o\cdot N\cdot I}{2\cdot \pi\cdot r}
 
 
 
W_m=\frac{1}{2}\cdot \int \frac{B^2}{\mu_o}\,dV=\frac{1}{2}\cdot \int \frac{\left(\frac{\mu_o\cdot N\cdot I}{2\cdot \pi\cdot r}\right)^2}{\mu_o}\,dV=\frac{1}{2\cdot \mu_o}\cdot \left(\frac{\mu_o\cdot N\cdot I}{2\cdot \pi}\right)^2 \cdot  \int \frac{1}{r^2}\,dV=
=\frac{\mu_o}{8}\cdot \left(\frac{N\cdot I}{\pi}\right)^2 \cdot  \int_{0}^{h}\int_{0} ^{2\cdot\pi}\int_{a}^{b}\frac{1}{r^2}\cdot r\cdot dr\, d\phi \,dz=\frac{\mu_o\cdot 2\cdot \pi\cdot h}{8}\cdot \left(\frac{N\cdot I}{\pi}\right)^2 \cdot  \int_{a}^{b}\frac{1}{r}\cdot dr=\frac{\mu_o \cdot h}{4\cdot \pi}\cdot \left(N\cdot I\right)^2 \cdot  \int_{a}^{b}\frac{1}{r}\cdot dr=
=\frac{\mu_o \cdot h}{4\cdot \pi}\cdot \left(N\cdot I\right)^2 \cdot  ln\left(\frac{b}{a}\right)
 
 
 
 
b) Su autoinductancia a partir de la energia almacenada en el toroidal viene dada por:
 
L=\frac{2\cdot W_m}{I^2}=\frac{\mu_o \cdot h}{2\cdot \pi}\cdot \left(N\right)^2 \cdot  ln\left(\frac{b}{a}\right)

 

Español

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