Ejemplo 9.2 pag633 OGATA

Solapas principales

Vamos a calcular el compensador de atraso del sistema cuya funcion de transferencia en lazo abierto viene dada por:

 

funcion de transferencia en lazo abierto, Transformada de Laplace


 

Deseamos que $K_{v}$ sea 5, el margen de de fase de al menos 40^o y el margen de ganancia sea al menos de 10dB.
  1. Calculamos la constante

    $K=K_{c}\cdot \beta $.

     

    Limite para obtener la ganancia


    ganancia

     

    funcion de transferencia con la ganancia calculada


     

  2. Representamos $G_{1}(jw)$

     

    polo

    $\frac{1}{10\cdot T} $

    $\frac{1}{T}$ $ \frac{10}{T} $
    s   1  
    (s+1) 0.1 1 10

    $(0.5\cdot s+1)$

    0.2 2 20

    Calculamos las ganancias y fases para todos estos valores

     

    ganancia para la frecuencia 0.1

    ganancia para la frecuencia 0.2

     

    ganancia para la frecuencia 1

    ganancia para la frecuencia 2

     

    ganancia para la frecuencia 10

    ganancia para la frecuencia 20


     

     

    w 0.1 0.2 1 2 10 20
    $\vert G_{1}(jw)\vert$ 33.98 27.95 13.97 1.93 -31.93 -58.06

     

    w 0.1 0.2 1 2 10 20
    s -90 -90 -90 -90 -90 -90
    s+1 0 -11.3 -45 -63.43 -90 -90
    $0.5\cdot s+1$ 0 0 -26.56 -45 -78.69 -90

    $\lfloor{G_{1}(jw)}$

    -90 -101.3 -161.56 -198.43 -258.69 -270

    Programa para dibujar Bode en Scilab

    clf;
    
    s=%s/(%pi*2);
    
    g=1/(s*(s+1)*(0.5*s+1));
    
    gs=syslin('c',5*g);
    
    clf;
    
    bode(gs,0.1,20);
    
  3. Image Ejemplo9_2

     

  4. Como se ve el margen de fase no cumple los requisitos de 40^o y el margen de ganancia tampoco.
  5. Vamos a calcular la frecuencia a la cual el margen de fase es igual a:

     

    margen de fase igual -128

    ecuacion para calcular la frecuencia para obtener el margen de fase

     

    ecuacion para calcular la frecuencia para obtener el margen de fase parte 2

     

    ecuacion para calcular la frecuencia para obtener el margen de fase parte 3

     

    ecuacion para calcular la frecuencia para obtener el margen de fase parte4

     

    frecuencia para obtener el margen de fase


     

    Esta sera la nueva frecuencia de corte.

  6. Vamos a calcular la primera $\frac{1}{T}$ del compensador. Esta sera una decada debajo de esta nueva frecuencia de corte es decir

    $\frac{1}{T}=\frac{0.46}{10}=0.046$ con lo que $T=21.74$

  7. Vamos a calcular la $\beta$. Primero calcularemos la ganancia a la nueva frecuencia de corte. A esta frecuencia la ganancia de $G_{1}(jw)$ es:

     

    ganancia a la nueva frecuencia de corte


    ecuacion para obtener la beta

     

    valor de la beta


     

    Con lo que el compensador nos queda:

     

    funcion de transferencia del compensador


     

    Nos han quedado unas constantes bastante elevadas como nos dijo el libro que podria pasar.

  8. Finalmente calculamos la $K_{c}$

     

    La ganancia del compensador


     

 
Dibujar diagrama de bode del sistema compensado y no compensado en Scilab
s=%s/(2*%pi);

g=1/(s*(s+1)*(0.5*s+1));

gc=5*(21.74*s+1)/(236*s+1);

gc2=5*(10*s+1)/(100*s+1);

gt=g*gc;

gt2=g*gc2;

gs=syslin('c',5*g);

gts=syslin('c',gt);

gts2=syslin('c',gt2);

clf;

bode([gs;gts;gts2],['libro';'G(jw)*Gc(jw)';'G1(jw) no compensado']);

 

Diagrama de Bode del sistema no compensado y compensado con Scilab

 

 

 

Programa para dibujar diagrama de magnitud logaritmica respecto a la fase en Scilab
s=%s/(2*%pi);

g=1/(s*(s+1)*(0.5*s+1));

gc=5*(21.74*s+1)/(236*s+1);

gc2=5*(10*s+1)/(100*s+1);

gt=g*gc;

gt2=g*gc2;

gs=syslin('c',5*g);

gts=syslin('c',gt);

gts2=syslin('c',gt2);

clf;

chart([1.5,3]);

black([gs;gts;gts2],['G1(jw) no compensado';'G(jw)
*Gc(jw)';'libro']);

mtlb_axis([-240 -90 -20 24])

Diagrama de Nyquist del sistema compensado y no compensado con Scilab

Programa para dibujar respuesta a un escalon del sistema en Scilab
s=%s;

g=1/(s*(s+1)*(0.5*s+1));

gc=5*(21.74*s+1)/(236*s+1);

gc2=5*(10*s+1)/(100*s+1);

gt=g /. 1;

gt2=g*gc /. 1;

gt3=g*gc2 /. 1;

gs=syslin('c',gt);

gts=syslin('c',gt2);

gts2=syslin('c',gt3);

clf;

t=0:0.02:40;

y=csim('step',t,gs);

yt=csim('step',t,gts);

yt2=csim('step',t,gts2);

plot(t,y,'k');

plot(t,yt,'g');

plot(t,yt2,'b');

xgrid;

legend(['no compensado';'compensado';'libro'])

xtitle('Respuesta a un escalon','t(seg)','y(t)')

 

Respuesta del sistema compensado y no compensado a un escalon con Scilab

 

 
Programa para dibujar respuesta a una rampa del sistema en Scilab
s=%s;

g=1/(s*(s+1)*(0.5*s+1));

gc=5*(21.74*s+1)/(236*s+1);

gc2=5*(10*s+1)/(100*s+1);

gt=g /. 1;

gt2=g*gc /. 1;

gt3=g*gc2 /. 1;

gs=syslin('c',gt);

gts=syslin('c',gt2);

gts2=syslin('c',gt3);

clf;

t=0:0.02:30;

y=csim(t,t,gs);

yt=csim(t,t,gts);

yt2=csim(t,t,gts2);

plot(t,t,'r');

plot(t,y,'k');

plot(t,yt,'g');

plot(t,yt2,'b');

xgrid;

legend(['rampa';'no compensado';'compensado';'libro'])

xtitle('Respuesta a una rampa','t(seg)','y(t)')

 

Respuesta del sistema compensado y no compensado a una rampa con Scilab

 

 

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