Ejercicio 2.12(c)

Solapas principales


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Resolucion:

 
Cilindro atravesado por un campo vectorial
La verificacion del Teorema de la Divergencia.
 
 
$S_{1}$ es la superficie de arriba del cilindro.
 
$S_{2}$es la superficie de abajo del cilindro.
 
$S_{3}$es la superficie lateral del cilindro.
 
\oint_{S}\, A \, dS=\int\,\int_{S_{1}}\,A\,dS+\int\,\int_{S_{2}}\,A\,dS+\int\,\int_{S_{3}}\,A\,dS=\,\,\left(1\right)
=\int^{2}_{0}\int^{2\cdot \pi}_{0}\,\left[r, 0, z\right]\,\left[ 0, 0, 1 \right]\,r\,dr\,d\phi+\int^{2}_{0}\int^{2\cdot \pi}_{0}\,\left[r, 0, z\right]\,\left[ 0, 0, -1 \right]\,r\,dr\,d\phi+\,\,\left(2\right)
+\int^{4}_{0}\int^{2\cdot \pi}_{0}\,\left[r, 0, z\right]\,\left[ 1, 0, 0 \right]\,r\,dz\,d\phi=\,\,\left(3\right)
 
=\int^{2}_{0}\int^{2\cdot \pi}_{0}\,\left[r, 0, 4\right]\,\left[ 0, 0, 1 \right]\,r\,dr\,d\phi+\int^{2}_{0}\int^{2\cdot \pi}_{0}\,\left[r, 0, 0\right]\,\left[ 0, 0, -1 \right]\,r\,dr\,d\phi+\,\,\left(4\right)
 
+\int^{4}_{0}\int^{2\cdot \pi}_{0}\,\left[2, 0, z\right]\,\left[ 1, 0, 0 \right]\,2\,dz\,d\phi=\,\,\left(5\right)
 
=\int^{2}_{0}\int^{2\cdot \pi}_{0}\,4\,r\,dr\,d\phi+0+\int^{4}_{0}\int^{2\cdot \pi}_{0}\,2\cdot 2\,dz\,d\phi=2\cdot\pi\cdot 4\cdot \left[\frac{r^2}{2}\right]_{0}^{2}+2\cdot\pi\cdot 4\cdot 4=48\cdot \pi \,\,\left(6\right)
 

 

Español

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