Ejercicio 5.4 (Ley de Biot-Savart)

Solapas principales


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Resolucion:

La densidad de flujo magnetico B en un lado de la espira viene dado por:
 
\bar{B}=\frac{\mu_o\cdot I}{4\cdot \pi}\int \frac{d\bar{l}\times \bar{R}}{R^3}=
=\frac{4\cdot \pi \cdot 10^{-7}\cdot I}{4\cdot \pi}\int \frac{d\bar{l}\times \bar{R}}{R^3}=
= 10^{-7}\cdot I\int \frac{d\bar{l}\times \bar{R}}{R^3}
 
\bar{R}=x\,\bar{a}_x-y\,\bar{a}_y
R=\sqrt{x^2+y^2}
d\bar{l}=dy\,\bar{a}_y
 
 
d\bar{l}\times \bar{R}=\begin{vmatrix}\bar{a}_x & \bar{a}_y &\bar{a}_z\\0 & dy & 0 \\x & -y & 0 \\ \end{vmatrix}=-x\cdot dy \,\bar{a}_z
 
 
 
Con lo que la densidad de flujo magnetico en el centro de la espira debido a un lado de la espira nos da:
 
\bar{B}_1= 10^{-7}\cdot I\int_{-4\cdot 10^{-2}}^{4\cdot 10^{-2}} \frac{-x\cdot dy \,\bar{a}_z}{\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)^3}=10^{-7}\cdot 5 \left[ \frac{-y\cdot x\,\bar{a}_z}{x^2\cdot \sqrt{x^2+y^2}}\right]_{-4\cdot 10^{-2}}^{4\cdot 10^{-2}}=-1.5\cdot 10^{-5}\,\bar{a}_z
 
 
 
Por simetria con el lado de enfrente, la suma del lado izquierdo y derecho de la espira nos da una densidad de flujo magnetico en el centro de la espira:
 
\bar{B}_{13}=-2\cdot 1.5\cdot 10^{-5}=-3\cdot 10^{-5}\,\bar{a}_z\,T
 
 
 
La densidad de flujo debido al lado de la espira de arriba nos queda:
 
\bar{B_2}= 10^{-7}\cdot I\int_{-3\cdot 10^{-2}}^{3\cdot 10^{-2}} \frac{-y\cdot dx \,\bar{a}_z}{\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)^3}=10^{-7}\cdot 5 \left[ \frac{-x\cdot y\,\bar{a}_z}{y^2\cdot \sqrt{x^2+y^2}}\right]_{-3\cdot 10^{-2}}^{3\cdot 10^{-2}}=-2.67\cdot 10^{-5}\,\bar{a}_z
 
 
 
Por simetria con el lado de enfrente, la suma del lado izquierdo y derecho de la espira nos da una densidad de flujo magnetico en el centro de la espira:
 
\bar{B}_{24}=-2\cdot 2.67\cdot 10^{-5}=-5.333\cdot 10^{-5}\,\bar{a}_z\,T
 
 
 
Con lo que la densidad de flujo magnetico debido a la espira en el centro de la espira nos queda
 
\bar{B}=\bar{B}_{13}+\bar{B}_{24}=-8.333\cdot 10^{-5}\,\bar{a}_z\,T
 
 

 

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