Ejercicio 2.12(a)

Solapas principales


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Resolucion:

Para calcular el flujo de salida total a traves del cilindro vamos a utilizar el Teorema de la Divergencia para coordenadas cilindricas.
 
\int_{V} \nabla\cdot A \, dV=\oint_{S}\,A\, dS
 
\nabla\cdot A =\frac{1}{r}\cdot [\frac{\partial \, r\cdot A_{r}}{\partial \, r}+\frac{\partial \cdot A_{\phi}}{\partial\, \phi}+\frac{\partial r\cdot A_{z}}{\partial \, z}  ] =
 
=\frac{1}{r}\cdot [\frac{\partial \, r\cdot r}{\partial \, r}+\frac{\partial \cdot 0}{\partial\, \phi}+\frac{\partial r\cdot z}{\partial \, z}  ] = \frac{1}{r}\cdot \left(2\cdot r+ 0+ r\right) =\left(2+ 0+ 1\right)  
 
 
 
\oint_{S}\, A \, dS=\int_{V} \nabla\cdot A \, dV=\int_{-2}^{2}\int_{0}^{2\cdot \pi}\int_{0}^{2}\,3 \,r \, dr \, d\phi \, dz=2\cdot \pi \cdot\int_{-2}^{2}\int_{0}^{2}\,3 \,r  \, dr  \, dz=6\cdot \pi \cdot\int_{0}^{2}\,r  \,\left(2-\left(-2\right)\right)\, dr =
=6\cdot \pi \cdot\int_{0}^{2}\, \,r  \,4\, dr =6\cdot\pi\cdot 4\cdot \left[\frac{r^2}{2}\right]_{0}^{2}=48\cdot \pi
 
Cilindro atravesado por un campo vectorial
Español

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