Ejercicio 2.14(b)

Solapas principales


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Resolucion:

 Rotacional del campo vectorial en coordenadas cilindricas
 
\nabla \times \bar{F}=\frac{1}{r}\cdot \begin{vmatrix}a_{r} & r\cdot a_{\phi}&a_{z}\\\frac{\partial}{\partial\, r} & \frac{\partial}{\partial\, \phi} &\frac{\partial}{\partial\, z}  \\F_{r} & r\cdot F_{\phi}&F_{z}\\ \end{vmatrix}=
 
\begin{gather}=\frac{1}{r}\cdot  \left(\frac{\partial F_{z}}{\partial\, \phi}-\frac{r\cdot \partial F_{\phi}}{\partial\, z}\right)\,\bar{a}_{r}+\frac{1}{r}\cdot  \left(\frac{r\cdot \partial F_{r}}{\partial\, z}-\frac{r\cdot \partial F_{z}}{\partial\, r}\right)\,\bar{a}_{\phi} +\frac{1}{r}\cdot  \left(\frac{\partial (r\cdot  F_{\phi})}{\partial\, r}-\frac{ \partial F_{r}}{\partial\, \phi}\right)\,\bar{a}_{z} =\\ =\frac{1}{r}\cdot  \left(\frac{\partial\, 0}{\partial\, \phi} \frac{r\cdot \partial (3\cdot cos(\phi))}{\partial\, z}\right)\,\bar{a_{r}} +\frac{1}{r}\cdot  \left(\frac{r\cdot \partial sen(\phi)}{\partial\, z}-\frac{r\cdot \partial \,0}{\partial\, r}\right)\,\bar{a}_{\phi}+\frac{1}{r}\cdot  \left(\frac{\partial (r\cdot  3\cdot cos(\phi))}{\partial\, r}-\frac{ \partial sen(\phi)}{\partial\, \phi}\right)\,\bar{a}_{z} =\\ =0+0+\frac{1}{r}\cdot  \left( 3\cdot cos(\phi)-cos(\phi)\right)\,\bar{a}_{z}= \frac{2}{r}\cdot  cos(\phi)\,\bar{a}_{z} =\\ \end{gather}
 
 
Verificacion del Teorema de Stockes
 
\begin{gather}\oint_{S} \nabla \times \bar{F}\,dS=\int^{3}_{0}\int^{\frac{\pi}{2}}_{0} \frac{2}{r}\cdot cos(\phi) \cdot r\,dr\,d\phi=3\cdot 2=6\\ \end{gather}
 
Con el resultado del apartado anterior se ve que cumple Stokes 6=6. 

 

Español

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