Ejercicio 3.14 (Capacitancia)

Solapas principales


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Resolucion:

Al suponer que la tierra es una esfera conductora, su capacitancia viene dada por:
 
C=\frac{Q}{V}
 
El potencial de la tierra al infinito viene dado por:
 
V=-\int_{\infty}^{r_i} E_{r} dr=-\int_{\infty}^{r_i} \frac{\rho_{s}}{\epsilon} \, dr
 
En una esfera conductora la densidad superficial de carga viene dada:
 
\rho_s=\frac{Q}{S_{esfera}}=\frac{Q}{4\cdot \pi r^2}
 
 
Con lo que el potencial nos quedara:
 
V=-\int_{\infty}^{ri} \frac{Q}{4\cdot \pi \cdot r^2 \cdot \epsilon} \, dr =-\int_{\infty}^{ri} \frac{Q}{4\cdot \pi \cdot r^2 \cdot \epsilon_o \cdot \epsilon_r} \, dr =-\left[- \frac{Q}{4\cdot \pi \cdot r \cdot \epsilon_o \cdot \epsilon_r} \right]_{\infty}^{r_i}=\frac{Q}{4\cdot \pi \cdot \epsilon_o \cdot \epsilon_r} \cdot\left(\frac{1}{r_i}-\frac{1}{\infty}\right)=\frac{Q}{4\cdot \pi \cdot \epsilon_o \cdot \epsilon_r\cdot r_i}
 
Como el dielectrico es aire:
V= \frac{Q}{4\cdot \pi \cdot \epsilon_o \cdot 1 \cdot r_i}= \frac{Q\cdot 9\cdot 10^9}{ r_i}
 
Con lo que la capacitancia de la tierra suponiendo que es una esfera conductora sera:
 
C=\frac{Q}{\frac{Q\cdot 9\cdot 10^9}{ r_i} }=\frac{r_i}{ 9\cdot 10^9 }=\frac{6.37\cdot 10^6}{ 9\cdot 10^9 }=7.078 \cdot 10^{-4}\, F
 

 

Español

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