Ejercicio 3.4 Ley de Gauss

Solapas principales


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Resolucion del ejercicio 3.4:

La densidad de carga en el espacio libre viene dada por la ley de Gauss
\oint_{S}E\,dS=\int\int\int \nabla\,E\,dV=\int\int\int \frac{\rho}{\epsilon_{o}}\,dV
 
 \nabla\,E= \frac{\rho}{\epsilon_{o}}
 
La permitividad en el vacio por la constante de Coulomb
 
\frac{1}{4\cdot \pi \cdot \epsilon_{o}}=9\cdot 10^9\, \frac{m}{F}\,\, o\,\,\frac{N\cdot m^2}{C^2}
 
Suponemos que el campo esta dado en coordenas cilindricas. Como el campo que se da solo tiene componente radial.
 
 \nabla\,E=\frac{1}{r}\cdot \frac{\partial{r\cdot E_{r}}}{\partial{r}}=\frac{1}{r}\cdot \frac{\partial{r\cdot \frac{20\cdot 10^{-3}}{r^2}}}{\partial{r}}=-\frac{1}{r}\cdot \frac{20\cdot 10^{-3}}{r^2}=-\frac{20\cdot 10^{-3}}{r^3}
 
 -\frac{20\cdot 10^{-3}}{r^3}=\rho\cdot 4\cdot \pi \cdot 9\cdot 10^9
 
\rho=-\frac{20\cdot 10^{-3}}{r^3\cdot 4\cdot \pi \cdot 9\cdot 10^9}
 
 
El radio del punto en coordenadas cilindricas, los centimetros los pasamos a metros:
 
r=\sqrt{(3\cdot 10^{-2})^2+(-4\cdot 10^{-2})^2}=5\cdot 10^{-2}
 
 
La densidad de carga en el punto es:
 
\rho=-\frac{20\cdot 10^{-3}}{r^3\cdot 4\cdot \pi \cdot 9\cdot 10^9} =-\frac{20\cdot 10^{-3}}{(5\cdot 10^{-2})^3\cdot 4\cdot \pi \cdot 9\cdot 10^9} =-1.4147\, \frac{\eta\,C}{m^3}
Español

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