Problema 1 (Lugar de las raices, compensador de adelanto, error de posicion)

Solapas principales

Enunciado del problema 1 del examen de la 1 semana de Septiembre del 2007 de Regulacion Automatica II

Solucion:

Apartado 1 (Dibujar el lugar de las raices del sistema sin compensar)

 

  • Polos y ceros

    Polos: p1=0, $p2=-0.5+j0.87$ y $p3=-0.5-j0.87$
    Ceros: Ninguno
    ramas en el infinito:$3-0=3$

     

  • Lugar del las raices en el eje real

    A la izquierda del polo en cero

     

  • Asintotas

     

    Angulos de las asintotas del lugar de las raices


    \begin{displaymath}K=[0 ,1 ,2]\end{displaymath}


     

    Punto de cruce de las asintotas en el eje real

     

    Puntos de cruce de las asintotas del lugar de las raices con el eje real


     

  • Puntos de ruptura y de ingreso

     

    Puntos de ruptura y de ingreso del lugar de las raices


     

    Nos da numeros complejos. Lo que implica que no tiene puntos de ruptura y de ingreso

     

  • Angulos de salida del lugar de las raices en los polos

    $\sqrt{2}\cdot j$ y

    $-\sqrt{2}\cdot j$

     

    angulos de salida del lugar de las raices

  • Interseccion con los ejes

     

    Ecuacion de interseccion con los ejes del lugar de las raices

     

    interseccion con los ejes del lugar de las raices

     

    ganancias de interseccion con los ejes del lugar de las raices


     

    Representacion del lugar de las raices
    Representacion del lugar de las raices con Scilab

     

Apartado 2 (Indicar el angulo que debe de aportar la red de adelanto)

condicion de sobreoscilacion

condicion de tiempo de asentamiento


\begin{displaymath}\sigma=\frac{4}{10}\geq0.4\end{displaymath}


\begin{displaymath}- \frac{\pi \cdot 0.4}{w_{d}}=ln(0.1)\end{displaymath}

\begin{displaymath}- \frac{\pi \cdot 0.4}{ln(0.1)}=w_{d}\end{displaymath}


\begin{displaymath}w_{d}\geq0.546\end{displaymath}


 

Con lo que tenemos los datos del polo dominante que queremos para el sistema

 

Polo dominante del sistema


 

Vamos a calcular el angulo de fase del sistema para s1

 

Angulo de fase del sistema para el polo dominante


 

Para conseguir 180 mediante una red de adelanto se tendra que tener un angulo en el compensador de:

 

Angulo del compensador de adelanto


 

Como el angulo a compensar es mayor que noventa, vamos a poner cuatro conmpensadores en serie

 

Angulo de compensadores en serie


 

Vamos a necesitar un regulador de adelanto

 

Ecuacion del regulador de adelanto

 

 

Apartado 3 (Vamos a diseñar la red de adelanto)

 

Vamos a poner el cero del compensador en $0.4$

Ecuacion para calcular el polo del compensador parte1

Ecuacion para calcular el polo del compensador parte2


Ecuacion para calcular el polo del compensador parte3


Con lo que el compensador nos queda:

 

Funcion del compensador en funcion de la ganancia Kc


 

Ahora vamos a calcular la $K_{c}$

Ecuacion para obtener la ganancia Kc del compensador


Ganancia del compensador


 

El compensador sera:

Funcion de transferencia de los compensadores en serie


 

Apartado 4 (Dibujar el lugar de las raices del sistema compensado)

 

Funcion de transferencia del sistema compensado


 

  • Polos y ceros

    Polos: p1=0, $p2=-0.5+j0.87$,$p3=-0.5-j0.87$ y cuatro polos igules en $p4=-3.46$
    Ceros: cuatro ceros en $c1=-0.4$
    ramas en el infinito:$7-4=3$

     

  • Lugar del las raices en el eje real

    Entre 0 y -0.4, de -0.4 al -3.46 y el -3.46 y el $-\infty$

     

  • Asintotas

     

    Angulos de las asintotas del lugar de las raices


    \begin{displaymath}K=[0 ,1 ,2]\end{displaymath}


     

    Punto de cruce de las asintotas en el eje real

     

    Puntos de cruce de las asintotas del lugar de las raices con el eje real


     

  • Puntos de ruptura y de ingreso

     

    Puntos de ruptura e ingreso del lugar de las raices


     

    Nos da en -0.4 y -3.46

     

  • Angulos de salida del lugar de las raices en los polos

    $\sqrt{2}\cdot j$ y

    $-\sqrt{2}\cdot j$

     

    Angulos de salida del lugar de las raices en los polos parte1

  •  
  • Angulos de salida del lugar de las raices en los polos parte2


     

    Representacion del lugar de las raices
    Representacion del lugar de las raices con Scilab
Representacion a la respuesta a un escalon de todo el sistema:

 

Representacion a la respuesta a un escalon del sistema compensado con Scilab

 

Como se ve en la grafica de respuesta del sistema a un escalon, la sobreoscilacion no cumple los requisitos esto es debido a que el polo en 0 influye mas que el polo dominante calculado.Si en vez de poner el cero en -0.4, lo pusieramos en cero. El compensador que nos daria seria:

 

Compensador en serie


 

Con lo que la sobreoscilacion bajaria pero aun asi no cumpliria las especificaciones:
Representacion a la respuesta a un escalon del sistema compensado que no cumple con Scilab

 

Calculos y comprobaciones con el Scilab

s=%s;
g=2/(s*(s^2+s+1));
gs=syslin('c',g);
//Calculo de los polos de g
p=roots(denom(gs))
//Calculo de la derivada, para ptos ingreso
dk=derivat(-1/gs)
ptsingreso=roots(numer(dk))
//Calculo de los angulos de salida
aux=p(2)-p(1);
aux2=atan(imag(aux),real(aux));
ap2p1=360*aux2/(2*%pi)
asal=180-90-ap2p1
//Lugar de las raices de g
clf;
evans(gs)
xgrid;
mtlb_axis([-2 2 -2 2]);
//Calculo de el polo dominante ts=10;
mp=0.1
sig=4/ts;
wd=-%pi*sig/log(mp)
s1=-sig+%i*wd;
//Angulo del sistema en s1
gs1=horner(gs,s1);
anggs1=atan(imag(gs1),real(gs1));
aux=360*anggs1/(2*%pi)
//Angulo total del compensador de adelanto
angc=180-aux
//Angulo de compensador de adelanto
n=4
angc1=angc/n
aux2=2*angc1*%pi/(360);
//Calculo del polo del compensador
a=-0.4;
longitud=imag(s1)*tan(aux2)
b=a-longitud
//Compensador sin la Kc
gc=(s-a)^n/(s-b)^n;
//Vamos a calcular la Kc del compensador
gt=gc*g;
gts=syslin('c',gt);
aux3=abs(horner(gt,s1));
kc=1/aux3
//Vamos a comprobar que el resultado esta bien
gt2=kc*gt;
gcgs1=horner(gt2,s1)
//Calculo asintota sistema compensado
ptosgt=roots(numer(derivat(1/gts)))
//Representacion del lugar de las raices del sistema compensado:
clf;
evans(gt2)
xgrid;
mtlb_axis([-5 0.5 -4 4])
//respuesta a un escalon de todo el sistema
glc=gt2/. 1 ;
t=0:0.1:10;
y=csim('step',t,glc);
clf
xgrid;
plot(t,y)

 

Apartado 5 (Calcular el error de posicion del sistema compensado)

 

Ecuacion del error de posicion del sistema


 

Constante del error de posicion Kp


Valor del error de posicion ep


 

 

 

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