Problema A9.8 pag660 OGATA

Solapas principales

Vamos a calcularle un compensador que nos haga cumplir los siguientes requisitos $K_{v}=20$, margen de fase =50 y margen de ganancia $\geq 10dB$ al siguiente sistema en lazo abierto:

 

Funcion de transferencia en lazo abierto, transformada de Laplace


 

  1. Vamos a calcular K y $G_{1}(jw)$

     

    Valor de la ganancia

    Funcion de transferencia de G1


     

  2. Vamos a hacer el diagrama de bode de $G_{1}(jw)$
      w $\frac{w}{10}$ $10\cdot w$
    s 1 0.1 10
    $(s+1)$ 1 0.1 10

     

    Ganancia en dB (decibelios) para una frecuenciaa de 0.1

    Ganancia en dB (decibelios) para una frecuencia de 1

     

    Ganancia en dB (decibelios) para una frecuenciaa de 10

    fase para una frecuencia de 0.1

     

    fase para una frecuencia de 1

     

    fase para una frecuencia de 10


     

    w 0.1 1 10
    $dB\vert G_{1}\vert$ 46.02 26.02 -13.98

    $\lfloor{G_{1}}$

    -90 -135 -180

    Representacion del diagrama de Bode con los valores de las tablas

  3. Como se ve necesitamos un compensador de adelanto para que el margen de fase sea 50

     

  4. Vamos a calcular el margen de fase y la fase del compensador ($\phi_{m}$)

     

    Ecuacion para obtener la frecuencia de cruce

     

    Ecuacion para obtener la frecuencia de cruce parte 2

     

    valor de la frecuencia de cruce

     

    valor de la fase en la frecuencia de cruce de la ganancia

     

    margen de fase


    anagulo


     

  5. Calculamos el $\alpha$ del compensador

     

    Funcion de transferencia del compensador sin resolver

     

    ecuacion para obtener el alpha del compensador

     

    Valor del alpha del compensador


     

     

  6. Calculamos el T del compensador

     

    Ecuacion para obtener la frecuencia parte 1

     

    Ecuacion para obtener la frecuencia parte 2

     

    Ecuacion para obtener la frecuencia parte 3

     

    Valor de la nueva frecuencia de corte


     

     

    Este valor 6.76 sera la nueva frecuencia de corte.

     

    Ecuacion para obtener el periodo del compensador T

     

    Valor del periodo del compensador T


     

    Funcion de transferencia del compensador en funcion de la ganancia Kc


     

     

  7. Calculamos la $K_c$ del compensador

     

    Valor de la ganancia del compensador Kc


     

     

    Con lo que el compensador nos queda:

     

    Funcion de transferencia del compensador

     

  8. Ahora vamos a comprobar el margen de ganancia verifica $\geq 10$
    Al haber insertado en el sistema con el compensador un cero y polo, sus fases a altas frecuencias se anulan (90-90) con lo que el sistema queda como al inicio -180 a altas frecuencias casi en el $\infty$ con lo que el margen de ganancia va ha ser muy elevado con lo que $\geq 10$.

 

Vamos a representar el diagrama de Bode de todas las funciones mediante Scilab

s=%s/(2*%pi);
g=10/(s*(s+1))
gc=10.49*(s+2.95)/(s+15.5);
gt=g*gc;
gc2=9.5238*(s+2.9787)/(s+14.1842);
gt2=g*gc2;
gs=syslin('c',2*g);
gcs=syslin('c',gc);
gcs2=syslin('c',gc2);
gts=syslin('c',gt);
gts2=syslin('c',gt2);
clf();
bode([gs;gcs;gts;gts2;gcs2],['Gc(jw)libro';'G(jw)*Gc(jw)libro';'G(jw)
*Gc(jw)';'Gc(jw)';'G1(jw)' ]);

 

Diagrama de Bode del sistema compensado y sin compensar con Scilab

 

 
Vamos a representar la respuesta a un escalon mediante Scilab
s=%s;
g=10/(s*(s+1))
gc=10.49*(s+2.95)/(s+15.5);
gt=g*gc;
gc2=9.5238*(s+2.9787)/(s+14.1842);
gt2=g*gc2;
glc=g /. 1;
gtlc=gt /. 1;
gtlc2=gt2 /. 1;
gs=syslin('c',glc);
gcs=syslin('c',gtlc);
gcs2=syslin('c',gtlc2);
t=0:0.1:6;
y=csim('step',t,gs);
y1=csim('step',t,gcs);
y2=csim('step',t,gcs2);
clf();
plot(t,y,'k');
plot(t,y1,'b');
plot(t,y2,'g');
xtitle('Respuesta a un escalon','t (seg)','y(t)');
legends(['G(s)';'Gc(s)*G(s)';'libro'],[1,2,3],opt=1);
xgrid;

Respuesta del sistema compensado y no compensado a un escalon con Scilab

Vamos a representar la respuesta a una rampa mediante Scilab
s=%s;
g=10/(s*(s+1))
gc=10.49*(s+2.95)/(s+15.5);
gt=g*gc;
gc2=9.5238*(s+2.9787)/(s+14.1842);
gt2=g*gc2;
glc=g /. 1;
gtlc=gt /. 1;
gtlc2=gt2 /. 1;
gs=syslin('c',glc);
gcs=syslin('c',gtlc);
gcs2=syslin('c',gtlc2);
t=0:0.1:3;
y=csim(t,t,gs);
y1=csim(t,t,gcs);
y2=csim(t,t,gcs2);
clf();
plot(t,t,'r');
plot(t,y,'k');
plot(t,y1,'b');
plot(t,y2,'g');
xtitle('Respuesta a una rampa','t (seg)','y(t)');
legends(['rampa';'G(s)';'Gc(s)*G(s)';'libro'],[color('red'),1,2,3],opt=1);
xgrid;

Respuesta del sistema compensado y no compensado a una rampa con Scilab

 

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