Problema A9.9 pag667 OGATA

Vamos a calcularle un compensador de retardo-adelanto que nos haga cumplir los siguientes requisitos , margen de fase =50 y margen de ganancia al siguiente sistema en lazo abierto:

1. Vamos a calcular primero el valor de K para obtener

    

   

    

   

    

   

   
   

    

    

2. Vamos a calcular el diagrama de Bode de

   	w
   s	1
   	1	0.1	10
   (s+4)	4	0.4	40

    

   

    

   

    

   

   

    

   

    

   

    

   

    

   

    

   

    

   

    

   

    

   

    

   

    

   

   
   

    

   w	0.1	0.4	1	4	10	40	100
   	40	27.96	20	-4.08	-27.96	-64.08	-87.96
   	-90	-117	-152.9	-207	-242.9	-270	-270

   

    

3. Vamos a calcular la frecuencia a la cual toma el valor -180, que sera la nueva frecuencia de cruce

    

   

    

   

    

   

    

   

   
   

    

   Comprobacion con Scilab

   s=%s;
   g=40/(s*(s+1)*(s+4));
   gs=syslin('c',g);
   w=[0.1 0.4  1 2 4 10 40 100];
   gr=horner(gs,%i*w);
   [phi,db]=phasemag(gr)
   [w;db;phi]
   

   Resultados:

   -->[w;db;phi]
    ans  =
    
       0.1          0.4          1.           2.           4.               
       39.954073    27.271007    16.726411    6.0205999  - 7.355989    
     - 97.142689  - 117.512    - 149.03624  - 180.       - 210.96376  
     
       10.          40.          100. 
     - 28.646594  - 64.128327  - 87.966178
     - 242.488    - 262.85731  - 267.13645
   
   

4. El valor

   del compensador de atraso sera una decada por debajo de la frecuencia de cruce

    

   

   
   

    

    

5. El margen de fase tendra que ser , con lo que con este valor calcularemos la

    

   

    

   

    

   

    

   

   
   

    

    

   Con lo que ya tendremos el compensador de atraso

    

   

   
   

    

   Vamos a representar el diagrama de Bode con el compensador mediante Scilab

   s=%s/(2*%pi);
   g=40/(s*(s+1)*(s+4));
   gc1=(s+0.2)/(s+0.02);
   gt1=g*gc1;
   gs=syslin('c',g);
   gc1s=syslin('c',gc1);
   gt1s=syslin('c',gt1);
   clf();
   bode([gs;gt1s;gc1s],['compensador';'compensado';'no compensado']);
   

   

6. Vamos a calcular el compensador de adelanto. Vamos a calcular la ganancia que toma en la frecuencia de cruce:

    

   

   
   

    

   Vamos a calcular el cero y el polo del compensador pasando una recta por el punto (2rad/seg,-7.95dB) del diagrama de Bode y viendo donde interseca con la recta -20dB y la recta 0db. La pendiente viene dada de la siguiente forma:

   

    

   

    

   

   
   

   

   
   

   

    

   

    

   

    

   

   
   

    

    

   

   
   

    

    

   

   
   

    

    

   El compensador de adelanto nos quedara:

    

   

   
   

    

s=%s/(2*%pi);
g=40/(s*(s+1)*(s+4));
gc1=(s+0.2)/(s+0.02);
gc2=(s+0.5)/(s+5);
gc3=(s+0.4)*(s+0.2)/((s+4)*(s+0.02));
gt1=g*gc1*gc2;
gt2=gc3*g;
gs=syslin('c',g);
gc1s=syslin('c',gc1*gc2);
gc2s=syslin('c',gc3);
gt1s=syslin('c',gt1);
gt2s=syslin('c',gt2);
clf();
bode([gs;gt1s;gc1s;gc2s;gt2s],['compensado libro';'compensador libro'
;'compensador';'compensado';'no compensado']);

s=%s;
g=40/(s*(s+1)*(s+4));
gc1=(s+0.2)/(s+0.02);
gc2=(s+0.5)/(s+5);
gc3=(s+0.4)*(s+0.2)/((s+4)*(s+0.02));
gt1=g*gc1*gc2;
gt2=gc3*g;
glc=g /. 1;
glc2=gt1 /. 1;
glc3=gt2 /. 1;
gs=syslin('c',glc);
gs2=syslin('c',glc2);
gs3=syslin('c',glc3);
t=0:0.1:40;
y=csim('step',t,gs);
y2=csim('step',t,gs2);
y3=csim('step',t,gs3);
clf();
subplot(2,1,1);
plot(t,y,1);
legends('no compensado',1,opt=1)
xgrid;
xtitle('Respuesta ante una entrada escalon','','y(t)')
subplot(2,1,2)
plot(t,y2,'b');
plot(t,y3,'g');
legends(['compensado';'compensado libro'],[2;3],opt=4);
xtitle('','t(seg)','y(t)')
xgrid;

s=%s;
g=40/(s*(s+1)*(s+4));
gc1=(s+0.2)/(s+0.02);
gc2=(s+0.5)/(s+5);
gc3=(s+0.4)*(s+0.2)/((s+4)*(s+0.02));
gt1=g*gc1*gc2;
gt2=gc3*g;
glc=g /. 1;
glc2=gt1 /. 1;
glc3=gt2 /. 1;
gs=syslin('c',glc);
gs2=syslin('c',glc2);
gs3=syslin('c',glc3);
t=0:0.1:20;
y=csim(t,t,gs);
y2=csim(t,t,gs2);
y3=csim(t,t,gs3);
clf();
subplot(2,1,1);
plot(t,y,1);
legends('no compensado',2,opt=1)
xgrid;
xtitle('Respuesta ante una entrada rampa','','y(t)')
subplot(2,1,2)
plot(t,t,'r');
plot(t,y2,'b');
plot(t,y3,'g');
legends(['compensado';'compensado libro';'rampa'],[2;3;5],opt=4);
xtitle('','t(seg)','y(t)')
xgrid;