Problema 4 (Lugar de las raices)

Solucion:

1. Polos,ceros y ramas
   ramas=4-1=3
   polos: s=-1 (polo multiple)
   ceros: s=1

    

2. Determinacion del lugar de las raices en el eje real(numero impar de polos y ceros a la derecha)
   El lugar de las raices esta entre 1 y -1 y a la izquierda del -1.

    

3. Asintotas

   

   
   

   

   
   

    

4. Puntos de ingreso y ruptura

   

   
   

   

   
   

    

   

   
   

   

   
   

   La ecuacion es complicada pero el punto de ruptura va estar en -1 ya que tiene que estar entre dos polos y en la parte del eje real del lugar de las raices.

   

   
   

    

    

5. Corte con el eje imaginario

   

   
   

   Vamos a utilizar el criterio de Routh

    

   1	6
   4		0
   	0

   Para que la primera fila sea positiva se tiene que cumplir:
   

   
   

   

   
   

   La raices de la ecuacion son y . Con lo que para que se verifique la condicion anterior ya que K es positiva, .
   

   
   

   Es decir el sistema es estable para

   .

   El sistema corta el eje en

   

   
   

   

   
   

   

   
   

   

   
   

   

   
   

   

   
   

   

   
   

   El sistema corta el eje en

clf;

s=%s;

den=(s+1)^4;

num=(s-1);

g=num/den;

gs=syslin('c',g);

evans(g);

mtlb_axis([-5 5 -5 5]);

xgrid;

gc1=1+1*g;

gc2=1+2*g;

r1=roots(numer(gc1))

r2=roots(numer(gc2))

Resultados: como se ve el limita la estabilidad (con ganancia dos ya es inestable) y el diagrama de Evans coincide.

r1 =
 
 0 
 - 0.8233950 + 1.2028208i 
 - 0.8233950 - 1.2028208i 
 - 2.35321 
 r2 =
 
 0.1439011 
 - 0.7504831 + 1.4374043i 
 - 0.7504831 - 1.4374043i 
 - 2.6429349