Problema 4 (Lugar de las raices)

Solapas principales

enunciado del problema 4 del examen de febrero de 2009 de Regulacion Automatica I

Solucion:

  1. Polos,ceros y ramas

    ramas=4-1=3
    polos: s=-1 (polo multiple)
    ceros: s=1

     

  2. Determinacion del lugar de las raices en el eje real(numero impar de polos y ceros a la derecha)

    El lugar de las raices esta entre 1 y -1 y a la izquierda del -1.

     

  3. Asintotas

    Angulos de las asintotas del lugar de las raices


    Punto de cruce de las asintotas


     

  4. Puntos de ingreso y ruptura

    puntos de ingreso y ruptura del lugar de las raices


    puntos de ingreso y ruptura del lugar de las raices parte 2


     

    puntos de ingreso y ruptura del lugar de las raices parte 3


    puntos de ingreso y ruptura del lugar de las raices parte 4


    La ecuacion es complicada pero el punto de ruptura va estar en -1 ya que tiene que estar entre dos polos y en la parte del eje real del lugar de las raices.

    \begin{displaymath}(3\cdot (-1)^{4}+4\cdot (-1)^{3}-6\cdot (-1)^{2}-12\cdot (-1)-5)=0\end{displaymath}


     

     

  5. Corte con el eje imaginario

    corte con el eje imaginario del lugar de las raices


    Vamos a utilizar el criterio de Routh

     

    1 6 $1-K$
    4 $4+K$ 0

    $\frac{4\cdot 6-(4+K)}{4}=\frac{24-4-K}{4}=\frac{20-K)}{4}=5-0.25\cdot K$

    $\frac{4\cdot (1-K)}{4}=(1-K)$

     

    $\frac{(5-0.25\cdot K)\cdot(4+K)-4\cdot(1-K)}{5-0.25\cdot K}=\frac{-0.25\cdot K^{2}+8\cdot K+16}{5-0.25\cdot K}$

    0  
    $1-K$    
    Para que la primera fila sea positiva se tiene que cumplir:

    condiciones para que la primera fila sea positiva


    condiciones para que la primera fila sea positiva parte2


    La raices de la ecuacion son $K=-1.89$ y $K=33.89$. Con lo que para que se verifique la condicion anterior ya que K es positiva, $K<33.89$.

    condiciones para que la primera fila sea positiva parte3


    Es decir el sistema es estable para

    $0<K<1<20<33.88$.

    El sistema corta el eje en $K=33.89$

    punto donde el lugar de las raices corta el eje


    punto donde el lugar de las raices corta el eje ecuacion 2


    punto donde el lugar de las raices corta el eje ecuacion 3


    punto donde el lugar de las raices corta el eje ecuacion 4


    punto donde el lugar de las raices corta el eje ecuacion 5


    punto donde el lugar de las raices corta el eje ecuacion 5


    puntos donde el lugar de las raices corta el eje


    El sistema corta el eje en $\pm3.7$

 

Vamos a calcular el problema con el Scilab

clf;

s=%s;

den=(s+1)^4;

num=(s-1);

g=num/den;

gs=syslin('c',g);

evans(g);

mtlb_axis([-5 5 -5 5]);

xgrid;

gc1=1+1*g;

gc2=1+2*g;

r1=roots(numer(gc1))

r2=roots(numer(gc2))

Resultados: como se ve el $K=1$ limita la estabilidad (con ganancia dos ya es inestable) y el diagrama de Evans coincide.
r1 =
 
 0 
 - 0.8233950 + 1.2028208i 
 - 0.8233950 - 1.2028208i 
 - 2.35321 
 r2 =
 
 0.1439011 
 - 0.7504831 + 1.4374043i 
 - 0.7504831 - 1.4374043i 
 - 2.6429349

 

Lugar de las raices del sistema

 

 

Español

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