2.2 Ejemplo 2

Solapas principales


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Aclaracion en el ejemplo 2 del apartado 2.2:
 
La integral se resuelve:
 
\int \frac{1+t}{t-t^2}\,dt=\int \frac{1+t}{t\cdot(1-t)}\,dt
 
 
 
\frac{1+t}{t\cdot(1-t)}=\frac{A}{t}+\frac{B}{1-t}
1+t=A\cdot (1-t)+B\cdot t
 
(t=0)\rightarrow 1=A
(t=1)\rightarrow 2=B
 
 
Con lo que la integral nos quedaria:
 
\int \frac{1+t}{t\cdot(1-t)}\,dt=\int \frac{1}{t}+\frac{2}{1-t}\,dt=ln(t)-2\cdot ln(1-t)=ln\left(\frac{t}{(1-t)^2}\right)+k=
=ln\left(\frac{t}{(1-t)^2}\right)+ln(c)=ln\left(\frac{t\cdot c}{(1-t)^2}\right)
 
Ahora que tenemos solucionada la solucion de la ecuacion diferencial de primer orden homogenea nos quedaria:
 
ln(u)=ln\left(\frac{t\cdot c}{(1-t)^2}\right)
u=\frac{t\cdot c}{(1-t)^2}
 
Deshacemos el cambio:
 
v=u\cdot t
t=\frac{v}{u}
u=\frac{\frac{v}{u}\cdot c}{(1-\frac{v}{u})^2}=\frac{\frac{v}{u}\cdot c}{(\frac{u-v}{u})^2}=
u=\frac{v\cdot c\cdot u}{(u-v)^2}
1=\frac{v\cdot c}{(u-v)^2}
Deshacemos el otor cambio cambio:
u=x+\frac{1}{2}
v=y-\frac{1}{2}
1=\frac{(y-\frac{1}{2})\cdot c}{(x+\frac{1}{2}-(y-\frac{1}{2}))^2}
(x-y+1)^2=(y-\frac{1}{2})\cdot c

 

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