2.2 Ejemplo 1

Solapas principales

Aclaracion en el ejemplo 1 del apartado 2.2:
 
La integral se resuelve:
 
\int \frac{3-u^2}{u^3-u}\,du
 
Descomponemos el denominador en sus raices mas pequeñas:
u\cdot (u^2-1)=u\cdot (u-1)\cdot (u+1)
 
\frac{3-u^2}{u^3-u}=\frac{A}{u}+\frac{B}{u-1}+\frac{C}{u+1}
3-u^2=A\cdot (u-1)\cdot (u+1)+B\cdot u\cdot (u+1)+C\cdot u\cdot (u-1)
 
(u=0)\rightarrow 3=-A\rightarrow A=-3
(u=1)\rightarrow 3-1=B\cdot 2\cdot 1\rightarrow B=\frac{2}{2}=1
(u=-1)\rightarrow 3-1=C\cdot -2\cdot -1\rightarrow C=\frac{2}{2}=1
 
Con lo que la integral nos quedaria:
 
\int \frac{3-u^2}{u^3-u}\,du=\int \frac{-3}{u}+\frac{1}{u-1}+\frac{1}{u+1}\,du=-3\cdot ln(u)+ln(u-1)+ln(u+1)=
=ln\left(\frac{(u-1)\cdot (u+1)}{u^3}\right)=ln\left(\frac{u^2-1}{u^3}\right)
 
Ahora que tenemos solucionada la solucion de la ecuacion diferencial de primer orden homogenea nos quedaria:
 
ln\left(\frac{u^2-1}{u^3}\right)=ln(x)+c=ln(x)+ln(k)=ln(k\cdot x)
\frac{u^2-1}{u^3}=k\cdot x
 
Deshacemos el cambio:
y=u\cdot x
u=\frac{y}{x}
\frac{\left(\frac{y}{x}\right)^2-1}{\left(\frac{y}{x}\right)^3}=\frac{\frac{y^2-x^2}{x^2}}{\frac{y^3}{x^3}}=\frac{(y^2-x^2)\cdot x}{y^3}=k\cdot x
 
(y^2-x^2)=k\cdot y^3
Español

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