Problema 1 (Lugar de las raices, PID, compensador de adelanto)

Solapas principales

Enunciado del problema 1 del examen de la 1 semana de Junio del 2008 de Regulacion Automatica II

Solucion:

Apartado 1 (Dibujar el lugar de las raices del sistema sin compensar)

 

  • Polos y ceros

    Polos: p1=-1, polo 2 y polo 3
    Ceros: c1=-2
    ramas en el infinito:$3-1=2$

     

  • Lugar del las raices en el eje real

    Entre -1 y $-2$
  • Asintotas

     

    angulos de las asintotas del lugar de las raices


     

    Punto de cruce de las asintotas en el eje real

     

    punto de cruce de las asinstotas con el ejer real del lugar de las raices


     

  • Angulo de salida en $p2=j$

     

    angulo de salida del polo 2 del lugar de las raices


     

    Representacion del lugar de las raices
    Lugar de las raices con Scilab

     

Apartado 2 (Indicar el angulo que debe aportar el regulador)

 

 

ecuacion de la sobreoscilacion


tiempo de establecimiento


parte real del polo dominante


ecuacion para obtener la parte imaginaria del polo dominante parte 1


ecuacion para obtener la parte imaginaria del polo dominante parte 2


parte imaginaria del polo dominante


 

Con lo que tenemos los datos del polo dominante que queremos para el sistema

 

polo dominante


 

Vamos a calcular el angulo de fase del sistema para s1

 

Angulo de fase del sistema para el polo dominante


 

Para conseguir 180 usaremos una red de adelanto. El angulo que tiene que aportar el compensador es de:

 

angulo del compensador


Apartado 3 (Diseñar el regulador)

 

Vamos a necesitar un regulador de adelanto

 

ecuacion del regulador de adelanto


 

Como el maximo valor que puede aportar un cero es el situado en el 0 y nos da un valor de angulo de 126.23. Tendremos que utilizar por lo menos 2 ceros. Con lo que tendriamos que utilizar dos compensadores en serie.Uno de ellos podria ser el siguiente y asi simplificamos la funcion de transferencia resultante.

 

regulador de adelanto


angulo del compensador con el valor del polo dominante


 

Con lo que el angulo para el otro compensador nos quedaria:

 

angulo del otro compensador


 

Nos es valido es menor que $126.23$.

Como vamos a tener que meter una red de atraso podemos intentar hacer coincidir el cero del segundo compensador de adelanto con el cero de la red de atraso para cumplir $e_{p}=0$. Vamos entonces a calcular la red de atraso:

Red de atraso para que la $K_{p}$ sea $\infty$

 

error de posicion del sistema

 

constante del error de posicion


 

Como vemos la red de atraso tiene que tener polo en el cero para verificar $e_{p}=0$

 

red de atraso


 

Podemos intentar un PID. Asi no tendriamos que meter el segundo compensador de adelanto

 

ecuacion del PID

 

angulo del PID

 

ecuacion del angulo del PID parte 1

 

ecuacion del angulo del PID parte 2


 

Nos vale es menor que $126.23$

ecuacion para obtener a2 parte 1


 

ecuacion para obtener a2 el cero del PID parte 2


 

valor de a2


 

Con lo que el PID nos quedaria

 

ecuacion del PID resultante


 

El compensador adelanto-PID nos quedaria

 

 

compensador adelanto-PID dependiente de la ganancia


 

Vamos a calcular la $K_{c}$

 

ecuacion para obtener la ganancia del PID-adelanto


ganancia}


 

El compensador sera:

 

funcion de transferencia del compensador PID-adelanto


 

Apartado 4 (Dibujar el lugar de las raices del sistema compensado)

 

Funcion de transferencia del sistema compensado


 

  • Polos y ceros

    Polos: p1=0, $p2=j1$ y $p3=-j1$
    Ceros: $c1=-0.28$,$c2=-0.28$
    ramas en el infinito:$3-2=1$

     

  • Asintotas Asintota en 180

     

  • Lugar del las raices en el eje real

    Entre 0 y $-0.28$ y entre $-0.28$ y $-\infty$

     

  • Puntos de ruptura y de ingreso

     

    ecuacion para obtener los puntos de ruptura e ingreso


     

    Un pto de ingreso en -1.59
  • Angulo de salida en $p2=j$

     

    angulo de salida en el polo p2


     

    Representacion del lugar de las raices
    Lugar de las raices con Scilab

     

Calculos y comprobaciones con el Scilab

 

s=%s;
g=(s+2)/((s+1)*(s^2+1));
gs=syslin('c',g);
//Calculo de los polos de g
p=roots(denom(gs))
c=roots(numer(gs));
//Asintotas
for i=0:1
aas=180*(2*i+1)/2
end;
sas=(p(1)+p(2)+p(3)-c(1))/2
//Lugar de las raices de g
clf;
evans(gs)
xgrid;
mtlb_axis([-4 2 -4 4]);
//Calculo de el polo dominante ts=5;
mp=0.1;
sig=4/ts;
wd=-%pi*sig/log(mp)
s1=-sig+%i*wd;
//Angulo del sistema en s1
gs1=horner(gs,s1);
angsgs1=atan(imag(gs1),real(gs1));
auxgs1=360*angsgs1/(2*%pi)
//Angulo total del compensador de adelanto
angc=180-aux
//Angulo de s1
auxangs1=atan(imag(s1),real(s1));
angs1=360*auxangs1/(2*%pi)
//Angulo de compensador adelanto 1 en s1
gc1=(s+1)/(s+2)
gc1s1=horner(gc1,s1);
agc1s1=atan(imag(gc1s1),real(gc1s1));
auxgc1s1=360*agc1s1/(2*%pi)
//Angulo para el otro compensador de adelanto
agc2=angc-auxgc1s1
//Angulo ceros PID
acpids=agc2+angs1
acpid=acpids/2
axacpid=2*%pi*acpid/360
//Cero del PID
a2=-real(s1)-(imag(s1)/tan(%pi-axacpid))
//Calculo del PID
gc2=(s+a2)^2/s
//Compensador sin la Kc
gc=gc1*gc2
//Vamos a calcular la Kc del compensador
gt=gc*g;
gts=syslin('c',gt);
aux3=abs(horner(gt,s1));
kc=1/aux3
//Vamos a comprobar que el resultado esta bien
gt2=kc*gt;
gcgs1=horner(gt2,s1)
gt2s=syslin('c',gt2);
//Calculo de los polos de gt
pt=roots(denom(gt2s))
ct=roots(numer(gt2s))
//Angulo de la asintota de gt
angast=(pt(1)+pt(2)+pt(3)-2*ct(1))/3
//Calculo de la derivada, para ptos ingreso de gt
dk=derivat(-1/gt2s)
ptsingreso=roots(numer(dk))
//Lugar de las raices de gt
clf;
evans(gt2s)
xgrid;
mtlb_axis([-3 2 -1.5 1.5]);
//respuesta a un escalon de todo el sistema
glc=gt2/. 1 ;
glcs=syslin('c',glc);
t=0:0.1:200;
y=csim('step',t,glcs);
clf
subplot(2,1,1);
xgrid;
plot(t,y)
xtitle('Respuesta a un escalon','t','y(t)')
subplot(2,1,2);
t2=0:0.1:20;
y2=csim('step',t2,glcs);
xgrid;
plot(t2,y2)

 

 

 

Respuesta de todo el sistema a un escalon

 

respuesta en el tiempo del sistema a un escalon con Scilab

 

 

Español

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