Cuestion 2 (Margen de fase y de ganancia)

Solapas principales

Image 2008Jun1C2
SOLUCION:

 

Vamos a calcular el angulo que tiene que tener G(s) para tener ese margen

\begin{displaymath}-180+50=-130\end{displaymath}


\begin{displaymath}\lfloor{G(jwc)}=-130\end{displaymath}


\begin{displaymath}\lfloor{G(jwc)}=-90-\lfloor{(4-wc^{2}+jwc)}=-130\end{displaymath}

\begin{displaymath}130-90=40=\lfloor{(4-wc^{2}+jwc)}\end{displaymath}


\begin{displaymath}tg(40)=\frac{wc}{4-wc^{2}}\end{displaymath}


\begin{displaymath}tg(40)\cdot (4-wc^{2})=4\cdot tg(40)-tg(40)\cdot wc^{2}=wc\end{displaymath}


\begin{displaymath}tg(40)\cdot wc^{2}+wc-4\cdot tg(40)=0\end{displaymath}

\begin{displaymath}wc=1.491\end{displaymath}


\begin{displaymath}G(jwc)=K\cdot \left\vert\frac{ 1}{jwc \cdot ((jwc)^{2}+jwc+4)} \right\vert=1 \end{displaymath}


\begin{displaymath}K=3.458\end{displaymath}


 

Para que cumpla los requisitos de margen de fase la K tiene que tener un valor menor que 3.458

El valor de la frecuencia de cruce de fase sera:

 

\begin{displaymath}\lfloor{G(jwcf)}=-90-\lfloor{(4-wcf^{2}+jwcf)}=-180\end{displaymath}


\begin{displaymath}tg(90)\cdot wc^{2}+wc-4\cdot tg(90)=0\end{displaymath}

\begin{displaymath}wcf=2\end{displaymath}


 

Calcularemos el margen de ganancia para $K=3.458$

 

\begin{displaymath}20\cdot log\left(\left\vert\frac{ 3.458}{jwcf \cdot ((jwcf)^{2}+jwcf+4)} \right\vert \right)=-1.26\end{displaymath}


 

El margen de ganancia sera 1.26

Comprobaciones y calculos con Scilab

s=%s;
g=1/(s*(s^2+s+4));
gs=syslin('c',g);
ang=40*2*%pi/360;
//Vamos a calcular wc
aux=tan(ang);
aux1=aux*s^2+s-4*aux;
aux2=roots(aux1)
wc=aux2(1)
//Valor de K
aux3=horner(gs,wc*%i);
aux4=abs(aux3);
k=1/aux4
//Vamos a calcular wcf
aux5=tan(%pi/2);
aux6=aux5*s^2+s-4*aux5;
aux7=roots(aux6)
wcf=aux7(1)
//Vamos a calcular el margen de ganancia para K
aux8=horner(k*gs,wcf*%i);
aux9=abs(aux8);
aux10=20*log10(aux9)
//comprobaciones
aux11=horner(k*gs,wc*%i)
aux12=abs(aux11);
aux13=atan(imag(aux11),real(aux11));
aux14=aux13*360/(2*%pi)
s1=s/(2*%pi)
gb=1/((s1+0.0000000000001)*(s1^2+s1+4));
gbs=syslin('c',gb);
clf;
bode(gbs)
show_margins(gbs)
[mp,frp]=p_margin(gbs)
[mg,frg]=g_margin(gbs)

En este problema pasa una cosa curiosa debido al pico de resonancia de $s^{2}+s+4$ aumenta la frecuencia de cruce de ganancia y se reduce el margen de fase al calculado.

Image P2jun2008ps

 

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