fracciones simples

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Problema A.5.10 pag 304, Ogata

Problema A2.16 pag49 OGATA 4ed(Tranformada de Laplace)

Español

Dados los polos,ceros y ganancia vamos a calcular la funcion de tranferencia mediante Scilab en los siguientes casos:

a)Ganancia K=10,polos en -1+2j y -1-2j.

 

Programa en Scilab

num=10;

den=poly([-1-2*%i -1+2*%i],'s');

g=syslin('c',num/den)

Solucion:

 g  =
 
                
       10       
   -----------  
             2  
   5 + 2s + s

b)Ganancia 10. Cero en 0. Polos en -1+2j y -1-2j.

Programa en Scilab

num=10*poly(0,'s');

den=poly([-1-2*%i -1+2*%i],'s');

g=syslin('c',num/den)

Solucion:

g  =
 
                
      10s       
   -----------  
             2  
   5 + 2s + s

c)Ganancia 12. Cero en -1. Polos en -2, -4 y -8.

Programa en Scilab

num=12*poly(-1,'s');

den=poly([-2 -4 -8],'s');

g=syslin('c',num/den)

Solucion:

g  =
 
         12 + 12s        
    ------------------   
                  2   3  
    64 + 56s + 14s + s

Problema A2.15 pag48 OGATA 4ed(Tranformada de Laplace)

Español
Vamos a obtener la Transformada inversa de Laplace mediante Scilab la siguiente funcion de tranferencia:
 

Funcion de transferencia


Programa en Scilab

s=%s

num=s^5+8*s^4+23*s^3+35*s^2+28*s+3;

den=s^3+6*s^2+8*s;

g=syslin('c',num/den);

gf=tf2ss(g);

se=pfss(gf);

for k=1:size(se),


df(k)=clean(se(k)),

end;

Solucion:

 df  =
 
 
       df(1)
 
    0.375   
    -----   
      s     
 
       df(2)
 
    0.375   
    -----   
    4 + s   
 
       df(3)
 
    0.25    
    ----    
    2 + s   
 
       df(4)
 
              2  
    3 + 2s + s

El desarrollo en fracciones simples quedaria: 

Descomposicion en fracciones simples

 

La Transformada inversa de Laplace:

 

Transformada inversa de Laplace

 

 

 

Ejemplo 2.7b pag39 OGATA 4edicion(Tranformada de Laplace)

Español

Vamos a calcular los polo,los ceros y la ganancia mediante Scilab la siguiente funcion de tranferencia:

 

Funcion de tranferencia de Laplace

 

Programa en Scilab

s=%s

num=4*s^2+16*s+12;

den=(s)^4+12*s^3+44*s^2+48*s;

g=syslin('c',num/den);

[n d k]=factors(g)



Solucion:

 k  =
 
    4.  
 d  =
 
 
       d(1)
 
    s   
 
       d(2)
 
    2 + s   
 
       d(3)
 
    4 + s   
 
       d(4)
 
    6 + s   
 n  =
 
 
       n(1)
 
    1 + s   
 
       n(2)
 
    3 + s

 

Ejemplo 2.7a pag38 OGATA 4edicion(Tranformada de Laplace)

Español
Vamos a desarrollar en fracciones simples mediante Scilab la siguiente funcion de tranferencia:

Funcion de transferencia de Laplace


Programa en Scilab

s=%s

num=s^2+2*s+3;

den=(s+1)^3;

g=syslin('c',num/den);

gf=tf2ss(g);

se=pfss(gf)


Solucion:

 se  =
 
 
       se(1)
 
                2     
      3 + 2s + s      
    --------------    
               2   3  
    1 + 3s + 3s + s

Como vemos no nos ha solucionado nada debido al polo multiple, por lo que lo resolveremos como lo hacemos normalmente pero utilizando Scilab. Es decir solucionaremos las siguienter ecuaciones, para obtener los coeficientes:

 

Derivada segunda de la funcion de tranferencia


 

Derivada primera de la funcion de tranferencia


 

fraccion simple


 

La descomposicion en fracciones simples nos quedaria:

 

Desarrollo en fracciones simples


 

Esta ecuacion la programaremos con Scilab de la siguiente manera:

 

Programa en Scilab

s=%s

num=s^2+2*s+3;

den=(s+1)^3;

g=syslin('c',num/den);

rd=roots(den);

[n d k]=factors(g);

a(3)=horner(g*d(1)^3,rd(1))/2;

a(2)=horner(derivat(g*d(1)^3),rd(1));

a(1)=horner(derivat(derivat(g*d(1)^3)),rd(1))
 
 Solucion de los coeficientes:

 a  =
 
    2.  
    0   
    1.

 

El desarrollo en fracciones simples quedaria:

 

Descomponsicion en fracciones simples


 

 

Ejemplo 2.6 pag37 OGATA 4edicion(Tranformada de Laplace)

Español

Vamos a desarrollar en fracciones simples mediante Scilab la siguiente funcion de tranferencia:

Funcion de transferencia de Laplace

 

Programa en Scilab

s=%s;
 
num=2*s^3+5*s^2+3*s+6;
 
den=s^3+6*s^2+11*s+6;
 
g=syslin('c',num/den);
 
gf=tf2ss(g);
 
se=pfss(gf)


Solucion:

se  =
 
 
       se(1)
 
    - 6     
    -----   
    3 + s   
 
       se(2)
 
      3     
    -----   
    1 + s   
 
       se(3)
 
    - 4     
    -----   
    2 + s   
 
       se(4)
 
    2.

La descomposicion en fracciones simples nos quedaria:

Descomposicion en fracciones simples
 

Si se quiere volver a la ecuacion del comienzo se utilizara estas lineas de codigo a mayores en el Scilab, la g2 final es el valor que nos vale:

 
g2=0;

for k=1:size(se),

g2=g2+se(k),

end;

 

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