Cuestion 4 (Sistema Discreto, lugar de las raices)

Solapas principales

Image 2008Sept1C4
SOLUCION:
  1. Polos y ceros

    Cero en 2
    Polos:

    \begin{displaymath}z^{4}+0.5\cdot z^{2}+0.5=0\end{displaymath}


    \begin{displaymath}z^{4}+0.5\cdot z^{2}+0.5=(z^{2}-0.25+0.661j)\cdot(z^{2}-0.25-0.661j)\end{displaymath}


    \begin{displaymath}z=a+jb\; ; z^{2}=a^{2}-b^{2}+(2\cdot a\cdot bj)=0.25-j0.661\end{displaymath}


    \begin{displaymath}a^{2}-b^{2}=0.25\end{displaymath}


    \begin{displaymath}2\cdot a\cdot b=-0.661\end{displaymath}


    \begin{displaymath}(2ab)^{2}-4\cdot b^{4}=0.25 \cdot 4 \cdot b^{2} \; ;4\cdot b^{4}+ b^{2}-(2ab)^{2}=4\cdot b^{4}+ b^{2}-(-0.661)^{2}=0\end{displaymath}


    \begin{displaymath}b=\pm\sqrt{0.228}=\pm 0.477\end{displaymath}


     

    \begin{displaymath}a=\pm \frac{0.661}{2\cdot 0.477}=\pm 0.69\end{displaymath}


    \begin{displaymath}z1=0.477-j0.69\end{displaymath}


    \begin{displaymath}z2=-0.477+j0.69\end{displaymath}


    \begin{displaymath}(z^{2}-0.25+0.661j)=(z-z1)\cdot (z-z2)\end{displaymath}

    \begin{displaymath}z=a+jb\; ; z^{2}=a^{2}-b^{2}+(2a\cdot bj)=0.25+j0.661\end{displaymath}


    \begin{displaymath}a^{2}-b^{2}=0.25\end{displaymath}


    \begin{displaymath}2a\cdot b=0.661\end{displaymath}


    \begin{displaymath}(2ab)^{2}-4\cdot b^{4}=0.25 \cdot 4 \cdot b^{2}\; ;4\cdot b^{4}+ b^{2}-(2ab)^{2}=4\cdot b^{4}+ b^{2}-(0.661)^{2}=0\end{displaymath}

     

    \begin{displaymath}b=\pm\sqrt{0.228}=\pm 0.477\end{displaymath}


    \begin{displaymath}a=\pm \frac{0.661}{2\cdot 0.477}=\pm 0.69\end{displaymath}


    \begin{displaymath}z3=0.477+j0.69\end{displaymath}


    \begin{displaymath}z4=-0.477-j0.69\end{displaymath}


    Ya tenemos todos los polos. El numero de ramas en el infinito $4-1=3$

 

2. El lugar de las raices en el eje real

A la izquierda del cero en 2

 

  • 3. Asintotas

    \begin{displaymath}\theta=\frac{180\cdot(2\cdot k+1)}{3}=[60,-180,-60]\end{displaymath}


    \begin{displaymath}s=-\frac{-(-2)}{3}=\frac{2}{3}=-0.67\end{displaymath}



     

  • 4. Puntos de ruptura y ingreso

    \begin{displaymath}\frac{dK}{ds}=-\frac{d}{ds}\left(\frac{z^{4}+0.5\cdot z^{2}+0.5}{(z-2)} \right)=\end{displaymath}


    \begin{displaymath}=-\frac{(4\cdot z^{3}+1\cdot z+0.5)\cdot (z-2)-(z^{4}+0.5\cdot z^{2}+0.5)}{(z-2)} =0\end{displaymath}


    \begin{displaymath}(4\cdot z^{3}+1\cdot z+0.5)\cdot (z-2)-(z^{4}+0.5\cdot z^{2}+0.5)=0\end{displaymath}


    \begin{displaymath}(4\cdot z^{4}+1\cdot z^{2}+0.5\cdot z)-(8\cdot z^{3}+2\cdot z+1)-(z^{4}+0.5\cdot z^{2}+0.5)=\end{displaymath}


    \begin{displaymath}=- 0.5 - 2\cdot z + 0.5\cdot z^{2} - 8\cdot z^{3} + 3\cdot z^{4} =0 \end{displaymath}


     

    \begin{displaymath}z=-0.2\end{displaymath}



     

  • 5. Angulos de salida

    \begin{displaymath}z3=0.477+j0.69\end{displaymath}


    \begin{displaymath}\theta_{1}=180-\lfloor{z3-z1}-\lfloor{z3-z2}-\lfloor{z3-z4}+\lfloor{z1-c1}=190\end{displaymath}


    z1 es simetrico con respecto a z3 respecto al eje real.

    \begin{displaymath}z2=-0.477+j0.69\end{displaymath}


     

    \begin{displaymath}\theta_{2}=180-\lfloor{z2-z1}-\lfloor{z2-z3}-\lfloor{z2-z4}+\lfloor{z2-c1}=310\end{displaymath}

  •  
  •  


  • z4 es simetrico con respecto a z2 respecto al eje real

     

 

Representacion y calculos hechos con el Scilab

z=%z;
g=(z-2)/(z^4+0.5*z^2+0.5);
gz=syslin('d',g);
clf;
evans(gz,2)
zgrid;
p=roots(denom(g))
tet=%pi-atan(imag(p(1)-p(2)),real(p(1)-p(2)))-atan(imag(p(1)-p(3))
,real(p(1)-p(3)))-atan(imag(p(1)-p(4)),real(p(1)-p(4)))
+atan(imag(p(1)-2),real(p(1)-2))

angz1=360*tet/(2*%pi)
tet2=%pi-atan(imag(p(3)-p(1)),real(p(3)-p(1)))-atan(imag(p(3)-p(2))
,real(p(3)-p(2)))-atan(imag(p(3)-p(4)),real(p(3)-p(4)))
+atan(imag(p(3)-2),real(p(3)-2))

angz1=360*tet2/(2*%pi)
dg=derivat(1/gz)
rdg=roots(numer(dg))
Image P4sept2008ps

 

Español

Añadir nuevo comentario

Plain text

  • No se permiten etiquetas HTML.
  • Las direcciones de las páginas web y las de correo se convierten en enlaces automáticamente.
  • Saltos automáticos de líneas y de párrafos.
Pin It