Cuestion 2 (Respuesta en frecuencia, compensador de adelanto)

Solapas principales

Image 2008Sept2C2
SOLUCION:
  1. Vamos a calcular el error de velocidad del sistema


    \begin{displaymath}K_{v}=\lim_{s \rightarrow 0}{s\cdot G(s)}=\lim_{s \rightarrow 0}{s\cdot \frac{2\cdot (s+1)}{s^{2}\cdot (s+2)}}=\end{displaymath}


    \begin{displaymath}=\lim_{s \rightarrow 0}{\frac{2\cdot (s+1)}{s \cdot (s+2)}} =\frac{2}{0}=\infty\end{displaymath}


    \begin{displaymath}e_{v}=\frac{1}{\infty}=0\end{displaymath}



     

  2. Vamos calcular el margen de fase del sistema y con el margen de fase del compensador

    w   1   2  
    $s^{2}$ -40   -40   -40
    $(s+1)$ 0   20   20

    $\frac{1}{\frac{s}{2}+1}$

    0   0   -20
      -40   -20   -40

    \begin{displaymath}G(j1)=-40\cdot log(1)=0\end{displaymath}


    \begin{displaymath}G(j2)=-20\cdot log(2)=-6.02dB\end{displaymath}


    La frecuencia de corte sera en 1. Con lo que podremos calcular el margen de fase del sistema.

    \begin{displaymath}\lfloor{G(j1)}=-161.56\end{displaymath}


    \begin{displaymath}margenfase=180-161.56=18.43\end{displaymath}


     

    Vamos a calcular la fase que proporcionara el compensador de adelanto para que el margen de fase sea 30

    \begin{displaymath}faseG_{c}=30-18.43+5\approx 17\end{displaymath}



     

  3. Vamos a calcular los parametros del compensador de adelanto

    \begin{displaymath}G_{c}(s)=K_{c}\cdot \frac{s+\frac{1}{T}}{s+\frac{1}{\alpha \cdot T}}\end{displaymath}


    \begin{displaymath}sen(faseG_{c})= \frac{1-\alpha}{1+\alpha}\end{displaymath}


    \begin{displaymath}\alpha=\frac{1-sen(faseG_{c})}{1+sen(faseG_{c})}=0.556\end{displaymath}


     

    Ahora vamos a calcular la nueva frecuencia de corte wc

    \begin{displaymath}G(jwc)=-20\cdot log(\frac{1}{\sqrt{\alpha}})=-2.55dB\end{displaymath}


    \begin{displaymath}-2.55=-20\cdot log(wc)\end{displaymath}


    \begin{displaymath}wc=10^{\frac{2.55}{20}}=1.34\end{displaymath}

\begin{displaymath}wc=\frac{1}{\sqrt{\alpha}\cdot T}\end{displaymath}


\begin{displaymath}\frac{1}{T}=\sqrt{\alpha}\cdot wc=1\end{displaymath}


\begin{displaymath}\frac{1}{\alpha \cdot T}=1.8\end{displaymath}


Como la constante de error de velocidad es infinito le vamos a dar a $K_{c}$ el valor 1.8

\begin{displaymath}G_{c}(s)=1.8\cdot \frac{s+1}{s+1.8}\end{displaymath}


  1. 4. Vamos a comprobar el margen de fase del sistema resultante


    \begin{displaymath}\lfloor{G_{c}(j1.34)\cdot G(j1.34)}=-143.95\end{displaymath}


    \begin{displaymath}margenfase=180-143.95=36.04\end{displaymath}


    Cumple las condiciones de margen de fase

     

    w 0.1 0.18 0.2 1 1.8 2 10 18 20

    $\lfloor{G_{c}(s)\cdot G(s)}$

    -174 -170 -169 -145 -145 -146 -169 -174 -174

     

     

    Las condiciones de margen de ganancia tambien las cumple nunca se cruza el sistema con -180

Calculos,comprobaciones y diagrama de Bode utilizando el Scilab

 

s=%s;
g=2*(s+1)/(s^2*(s+2));
gs=syslin('c',g);
gs1=horner(gs,%i);
angg1=(360/(2*%pi))*atan(imag(gs1),real(gs1));
mfg=180+angg1
anggc=30-mfg+5
aux=sin((2*%pi/360)*anggc);
alp=(1-aux)/(1+aux)
g1wc=-20*log10(1/sqrt(alp))
wc=10^(g1wc/(-20))
a=sqrt(alp)*wc
b=a/alp
gc=(s+a)/(s+b)
gc1=(s+1)/(s+1.8)
gt=gc1*g;
gts=syslin('c',gt);
g134=horner(gts,%i*1.34);
anggt=(360/(2*%pi))*atan(imag(g134),real(g134))
mfgt=180+anggt
g134=20*log10(1/1.8);
w=[0.1 0.18 0.2 1 1.8 2 10 18 20];
gw=horner(gts,%i*w);
anggtw=(360/(2*%pi))*atan(imag(gw),real(gw))
s1=s/(2*%pi)
gb=2*(s1+1)/((s1+000000.1)^2*(s1+2));
gbc1=1.8*(s1+1)/(s1+1.8);
gbt=gb*gbc1;
gbs=syslin('c',gb);
gbcs=syslin('c',gbc1);
gbts=syslin('c',gbt);
//margen real de fase y de ganancia
[mf,frp]=p_margin(gbts)
[mg,frg]=g_margin(gbts)
clf;
bode([gbs;gbcs;gbts],0.1,100,['compensado';'compensador';'no compensado'])
Image P2sept2008ss

 

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