Cuestion 4 (Sistemas Discretos, sobreoscilacion, intervalo de pico y valor final)

Solapas principales

Image 2008Sept2C4
SOLUCION:
Vamos a calcular la salida del sistema:


Vamos a descomponer en fracciones simples:

\begin{displaymath}Y(z)=\frac{a}{z+0.3}+\frac{b}{z-0.2}+\frac{c}{z-1}\end{displaymath}


\begin{displaymath}a=\left\lfloor \frac{2\cdot (z-0.5)\cdot (z+0.3)}{(z+0.3)\cdot (z-0.2)}\cdot \frac{z}{(z-1)}\right\rfloor_{z=-0.3}=0.738\end{displaymath}


\begin{displaymath}b=\left\lfloor \frac{2\cdot (z-0.5)\cdot (z-0.2)}{(z+0.3)\cdot (z-0.2)}\cdot \frac{z}{(z-1)}\right\rfloor_{z=0.2}=0.3\end{displaymath}


\begin{displaymath}c=\left\lfloor \frac{2\cdot (z-0.5)\cdot (z-1)}{(z+0.3)\cdot (z-0.2)}\cdot \frac{z}{(z-1)}\right\rfloor_{z=1}=0.961\end{displaymath}


 


Vamos a calcular la transfomada inversa z de esta ecuacion.

\begin{displaymath}y(k)=0.738\cdot 0.3^{k-1}\cdot cos((k-1)\cdot \pi)+0.3\cdot 0.2^{k-1}+0.961\cdot 1^{k-1}\end{displaymath}


El valor final sera:


 

Vamos a calcular los valores de y en funcion de k.

k 0 1 2 3 4 5 6 7 8
y(k) 0 2 0.8 1.04 0.944 0.968 0.96 0.962 0.961

El intervalo de pico es 1.
 
El valor de sobreoscilacion es:

\begin{displaymath}M_{p}=\frac{2-0.9615}{0.9615}\cdot 100=108 \%\end{displaymath}


Calculos y comprobacion de resultados mediante el Scilab

 

clear;
z=%z;
g=2*(z-0.5)/((z+0.3)*(z-0.2));
r=z/(z-1);
gt=g*r
gs=syslin('d',g);
gts=syslin('d',gt);
a=horner((z+0.3)*gts,-0.3)
b=horner((z-0.2)*gts,0.2)
c=horner((z-1)*gts,1)
gt2=a/(z+0.3)+b/(z-0.2)+c/(z-1)
for i=1:1:40
y(i)=a*0.3^(i-1)*cos((i-1)*%pi)+b*0.2^(i-1)+c*1^(i-1);
end;
aux=[0 y'];
k=0:1:40;
x=ones(1,41);
y2=flts(x,gs);
[aux;y2]
aux2=horner(gs,1)
aux3=(max(y)-aux2)/aux2
clf;
plot(k,y2,'o');
plot(k,aux);
mtlb_axis([0 10 0 2.1]);
xgrid;
xtitle('Respuesta a un escalon','k','y(k)')
Image P4sept2008ss
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