Problema 1(Equilibrado de las masas)

Solapas principales

PROBLEMA 1.- En la figura se muestra un eje de rotación al que se le han acoplado tres masas Wi = 10 Kg , W2 = 9 Kg y W3 = 6 Kg, las cuales lo han desequilibrado. La masa Wi está colocada a una distancia de 4cm del eje y forma un ángulo de 90º con él; la masa W2 a una distancia de 6 cm y forma un ángulo de 225º y la masa W3 a una distancia de 10 cm y forma un ángulo de 315º. Determinar las masas y sus posiciones angulares para que se produzca el equilibrio dinámico del sistema. Las masas se colocaran en los planos 4 y 5 como indica la figura y a una distancia del eje de rotación de 3 cm.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solucion:
 
F=m \cdot a=m \cdot w^2 \cdot r
 
m_1 \cdot r_1=m_{1_4}\cdot r_{1_4}+m_{1_5} \cdot r_{1_5}
 
En la masa 1
 
 
 
 
 
 
 
 
F_1=F_{1_4}+F_{1_5}=10\cdot 0.04=\frac{2}{5}
 
La proyeccion de la fuerza de la masa 1 en el plano 4.
 
F_{1_4}=F_1\cdot \frac{l_{1_5}}{l_{1_5}-l_{1_4}}=10\cdot 0.04 \cdot \frac{\frac{7+14}{100}}{\frac{14}{100}}=\frac{3}{5}
 
 
 
La proyeccion de la fuerza de la masa 1 en el plano 5.
 
F_{1_5}=F_1\cdot \frac{l_{1_4}}{l_{1_5}-l_{1_4}}=10\cdot 0.04 \cdot \frac{\frac{7}{100}}{\frac{14}{100}}=\frac{1}{5}
 
 
 
 
Como se ve la fuerza F1_5 tiene la misma direccion que F1  y la opuesta que F1_4 para que la suma total de todas las fuerzas sea cero.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
En la masa 2
F_2=F_{2_4}+F_{2_5}=9\cdot 0.06=\frac{27}{50}=0.54
 
 
 
La proyeccion de la fuerza de la masa 2 en el plano 4.
 
F_{2_4}=F_1\cdot \frac{l_{2_5}}{l_{2_5}+l_{2_4}}=9 \cdot 0.06 \cdot \frac{0.1}{0.14}=\frac{27}{70}=0.38
 
La proyeccion de la fuerza de la masa 2 en el plano 5
 
F_{2_5}=F_1\cdot \frac{l_{2_4}}{l_{2_5}+l_{2_4}}=9\cdot 0.06 \cdot \frac{0.04}{0.14}=\frac{27}{175}=0.15
 
Como se ve la fuerza F2_5 tiene la misma direccion que F2_4  y la opuesta que F2 para que la suma total de todas las fuerzas sea cero.
 
 
En la masa 3
F_3=F_{3_4}+F_{3_5}=10\cdot 0.1=0.6
 
La proyeccion de la fuerza de la masa 3 en el plano 4.
 
F_{3_4}=F_1\cdot \frac{l_{3_5}}{l_{3_5}-l_{3_4}}=6\cdot 0.1 \cdot \frac{0.18}{0.14}=\frac{27}{35}=0.77
 
La proyeccion de la fuerza de la masa 2 en el plano 5
 
F_{3_5}=F_1\cdot \frac{l_{3_4}}{l_{3_5}-l_{3_4}}=6\cdot 0.1 \cdot \frac{0.04}{0.14}=\frac{6}{35}=0.17
 
Como se ve la fuerza F3_5 tiene la misma direccion que F3  y la opuesta que F34 para que la suma total de todas las fuerzas sea cero.
 
 
Ahora vamos a calcular las fuerzas resultantes en el plano 4
 
 
 
 
F_{x_4}=F_{2_4} \cdot cos(225-180)+F_{3_4} \cdot cos(315-180)=\frac{27}{70} \cdot cos(225-180)+\frac{27}{35} \cdot cos(315-180)=-0.27
 
F_{y_4}=-F_{1_4}+F_{2_4} \cdot sen(225-180)+F_{3_4} \cdot sen(315-180)=-\frac{3}{5}+\frac{27}{70} \cdot sen(225-180)+\frac{27}{35} \cdot sen(315-180)=0.21
 
 
Ahora vamos a calcular las fuerzas resultantes en el plano 5
 
 
F_{x_5}=F_{2_5} \cdot cos(225-180)+F_{3_5} \cdot cos(315)=\frac{27}{175} \cdot cos(225-180)+\frac{6}{35} \cdot cos(315)=0.23
 
F_{y_5}=F_{1_5}+F_{2_5} \cdot sen(225-180)+F_{3_5} \cdot sen(315)=\frac{1}{5}+\frac{27}{70} \cdot sen(225-180)+\frac{27}{35} \cdot sen(315-180)=0.18
 
 
 
 

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