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Mensaje de error

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2.2 Ejemplo 2

Solapas principales

Enviado por Anónimo (no verificado) en Mar, 03/18/2014 - 17:45

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Aclaracion en el ejemplo 2 del apartado 2.2:

La integral se resuelve:

$\int \frac{1+t}{t-t^2}\,dt=\int \frac{1+t}{t\cdot(1-t)}\,dt$

$\frac{1+t}{t\cdot(1-t)}=\frac{A}{t}+\frac{B}{1-t}$

$1+t=A\cdot (1-t)+B\cdot t$

$(t=0)\rightarrow 1=A$

$(t=1)\rightarrow 2=B$

Con lo que la integral nos quedaria:

$\int \frac{1+t}{t\cdot(1-t)}\,dt=\int \frac{1}{t}+\frac{2}{1-t}\,dt=ln(t)-2\cdot ln(1-t)=ln\left(\frac{t}{(1-t)^2}\right)+k=$

$=ln\left(\frac{t}{(1-t)^2}\right)+ln(c)=ln\left(\frac{t\cdot c}{(1-t)^2}\right)$

Ahora que tenemos solucionada la solucion de la ecuacion diferencial de primer orden homogenea nos quedaria:

$ln(u)=ln\left(\frac{t\cdot c}{(1-t)^2}\right)$

$u=\frac{t\cdot c}{(1-t)^2}$

Deshacemos el cambio:

$v=u\cdot t$

$t=\frac{v}{u}$

$u=\frac{\frac{v}{u}\cdot c}{(1-\frac{v}{u})^2}=\frac{\frac{v}{u}\cdot c}{(\frac{u-v}{u})^2}=$

$u=\frac{v\cdot c\cdot u}{(u-v)^2}$

$1=\frac{v\cdot c}{(u-v)^2}$

Deshacemos el otor cambio cambio:

$u=x+\frac{1}{2}$

$v=y-\frac{1}{2}$

$1=\frac{(y-\frac{1}{2})\cdot c}{(x+\frac{1}{2}-(y-\frac{1}{2}))^2}$

$(x-y+1)^2=(y-\frac{1}{2})\cdot c$

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Idioma Español

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