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Mensaje de error

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2.2 Ejemplo 1

Solapas principales

Enviado por Anónimo (no verificado) en Mar, 03/18/2014 - 11:53

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Aclaracion en el ejemplo 1 del apartado 2.2:

La integral se resuelve:

$\int \frac{3-u^2}{u^3-u}\,du$

Descomponemos el denominador en sus raices mas pequeñas:

$u\cdot (u^2-1)=u\cdot (u-1)\cdot (u+1)$

$\frac{3-u^2}{u^3-u}=\frac{A}{u}+\frac{B}{u-1}+\frac{C}{u+1}$

$3-u^2=A\cdot (u-1)\cdot (u+1)+B\cdot u\cdot (u+1)+C\cdot u\cdot (u-1)$

$(u=0)\rightarrow 3=-A\rightarrow A=-3$

$(u=1)\rightarrow 3-1=B\cdot 2\cdot 1\rightarrow B=\frac{2}{2}=1$

$(u=-1)\rightarrow 3-1=C\cdot -2\cdot -1\rightarrow C=\frac{2}{2}=1$

Con lo que la integral nos quedaria:

$\int \frac{3-u^2}{u^3-u}\,du=\int \frac{-3}{u}+\frac{1}{u-1}+\frac{1}{u+1}\,du=-3\cdot ln(u)+ln(u-1)+ln(u+1)=$

$=ln\left(\frac{(u-1)\cdot (u+1)}{u^3}\right)=ln\left(\frac{u^2-1}{u^3}\right)$

Ahora que tenemos solucionada la solucion de la ecuacion diferencial de primer orden homogenea nos quedaria:

$ln\left(\frac{u^2-1}{u^3}\right)=ln(x)+c=ln(x)+ln(k)=ln(k\cdot x)$

$\frac{u^2-1}{u^3}=k\cdot x$

Deshacemos el cambio:

$y=u\cdot x$

$u=\frac{y}{x}$

$\frac{\left(\frac{y}{x}\right)^2-1}{\left(\frac{y}{x}\right)^3}=\frac{\frac{y^2-x^2}{x^2}}{\frac{y^3}{x^3}}=\frac{(y^2-x^2)\cdot x}{y^3}=k\cdot x$

$(y^2-x^2)=k\cdot y^3$

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Idioma Español

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