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Problema 2 (Diagrama polar, criterio de estabilidad de Nyquist)

Solapas principales

Enviado por pichu en Dom, 07/15/2012 - 21:07
enunciado del problema 2 del examen de febrero del 2009 de Regulacion Automatica I

Solucion:

Vamos a calcular el modulo y el angulo en frecuencia.

funcion de transferencia en lazo abierto


angulo de fase de la funcion de transferencia


Para calcular la frecuencia a la que el diagrama polar cruza con el eje real. Vamos a utilizar una aproximacion.

Aproximacion de la exponencial


Funcion de transferencia desarrollada


Ecuacion de el angulo de fase de la funcion de transferencia para obtener la frecuencia en el cruce con el eje real


Ecuacion de el angulo de fase de la funcion de transferencia parte2


 

Ecuacion de el angulo de fase de la funcion de transferencia parte3


Ecuacion de el angulo de fase de la funcion de transferencia parte4


Ecuacion de el angulo de fase de la funcion de transferencia parte5


Ecuacion de el angulo de fase de la funcion de transferencia parte6


Ecuacion de el angulo de fase de la funcion de transferencia parte7


 

Ecuacion de el angulo de fase de la funcion de transferencia parte8


Ecuacion de el angulo de fase de la funcion de transferencia parte9


Ecuacion de el angulo de fase de la funcion de transferencia parte10


Valor de la frecuencia en la que se corta el eje real


 

El punto de corte esta mas o menos en $w=1.02$

w 0.1 0.5 0.99 1.02 2 5 10
fase -100.29 -139.48 -180.09 -182.32 -245 -397.87 -632.65
modulo 9.95 1.78 0.71 0.68 0.22 0.039 9.95E-3

Despues de calcular los valores vemos que hay varios puntos de corte pero el ultimo que corta en el eje real negativo hacia la izquierda es en $w=0.99$ mas o menos. Como la funcion no tiene ningun polo negativo y no da ninguna vuelta alrededor del -1. El sistema es estable mientras que $K\cdot 0.71<1$ lo que implica que

$K<\frac{1}{0.71}=1.40$.

Vamos a comprobarlo con el Scilab:

clf;

w=[0.1 0.2 0.5 1 1.02 2 5 10 20 ]

s=%s;

T=0.8;

pade=(8-4*T*s+(T*s)^2)/(8+4*T*s+(T*s)^2);

g=pade/(s*(s+1));

gs=syslin('c',g);

nyquist(gs);

agr=-(%pi/2)-atan(w)-0.8*w;

agr2=-(%pi/2)-atan(w)-2*atan(w*0.4);

agg=360*agr/(2*%pi);

agg2=360*agr2/(2*%pi);

for i=1:size(agr,2);

m(i)=1/(w(i)*(sqrt(w(i)^2+1)));

v(i)=m(i)*cos(agr(i))+m(i)*sin(agr(i))*%i;

v2(i)=m(i)*cos(agr2(i))+m(i)*sin(agr2(i))*%i;

end;

plot(real(v),imag(v),'.');

mtlb_axis([-2 0.5 -10 0.2]);

xgrid(0.5);

g1=(1+1.4*g);

g2=(1+4*g);

r1=roots(numer(g1))

r2=roots(numer(g2))
Como vemos en los datos siguientes de las raices del denominador en lazo cerrado para $K=1.4$ y $K=4$ : en $K=1.4$ ya hay polos en el semiplano derecho pero practicamente estan en el eje imaginario, en cambio en $K=4$ ya hay claramente polos en el semiplano derecho.


r1 =
 
 0.0093576 + 0.9848008i 
 0.0093576 - 0.9848008i 
 - 3.0093576 + 2.9977472i 
 - 3.0093576 - 2.9977472i 
 
 r2 =
 
 0.4172850 + 1.344734i 
 0.4172850 - 1.344734i 
 - 3.417285 + 3.6801704i 
 - 3.417285 - 3.6801704i
Image Ej2Ex20090213

 

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Español

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