Transformada de Laplace

Español

SEGUNDO PARCIAL DE SERVOSISTEMAS (00/01)

Problema A.5.25 pag 324, Ogata

Vamos a ver el error de este sistema sujeto a una pertubacion de par. La funcion de transferencia en lazo cerrado la obtendremos de la siguiente manera:

Español

Problema A.5.8 pag 302, Ogata

Español
La ecuacion del sistema sera la siguiente:

ecuacion segundo grado

transformada de Laplace de la derivada de segundo orden
transformada de Laplace de la derivada de primer orden
Sustituyendo las dos ecuaciones anteriores en la (1)

Transformada de Laplace de la ecuacion

tranformada de Laplace parte 2

Transformada de Laplace de la ecuacion

 

Ahora nos interesa obtener $ \sigma $, $ w_{d}$ con ello conseguimos poner la transformada en funcion de cosenos y senos:
 

Transformada de Laplace en funcion de senos y cosenos

 

 

 

Por lo que obtendremos $ \sigma=1 $, $ w_{n}^2=100 $ y

$ w_{d}^{2}= w_{n}^{2}-\sigma^{2}=99 $, con lo que nos queda la siguiente ecuacion:

 

sustitucion de valores en la transformada de Laplace

 

 

transformada de Laplace desconpuesta en senos y cosenos

 

 

Tendremos que

$w_{d}=\sqrt{99}=9.95 $

 

Transformada inversa de Laplace

 

 

La ecuacion resultante tiene un periodo

$T=\frac{2\pi}{9.95}$ debido al seno y al coseno.Es decir que cuatro ciclos despues seria

$4T=\frac{8\pi}{9.95}$

 

valor del resultado en 4T

 

 

Problema B2.1 pag51 OGATA 4ed(Tranformada de Laplace)

Español

Vamos a calcular las transformada de Laplace de las funciones siguientes.
a)
funcion en el tiempo

 

Solucion:
Vamos a utilizar las siguientes propiedades y tranformadas.
 
Transformada de Laplace de una funcion exponencial
 
Transformada de Laplace de una funcion coseno

 

Con lo que obtenemos:

Transformada de Laplace de la funcion en el tiempo



Vamos a comprobar el resultado con el Scilab.
t=0:0.5:20;

ft=exp(-0.4*t).*cos(12*t);

s=%s;

numfs=s+0.4;

denfs=(s+0.4)^2+12^2;

fs=syslin('c',numfs/denfs);

fs1=csim('impulse',t,fs);
subplot(2,1,1);

plot2d(t,ft,2);

xtitle('Enunciado');

xgrid;

subplot(2,1,2);

plot2d(t,fs1,1);

xtitle('Solucion');

xgrid;

 

representacion de la transformada de Laplace en el tiempo con Scilab

b)

funcion en el tiempo

 

Solucion:

Vamos a descomponer la funcion de la siguiente manera:
descomposicion de la funcion en el tiempo
 
 
Con lo que la transformada nos quedaria:
 
transformada de Laplace de la funcion en el tiempo descompuesta

Vamos a comprobar el resultado con el Scilab.

t=0:0.5:300;

ft=sin(4*t+(%pi/3));

s=%s;

fs=(4/(s^2+4^2))*cos(%pi/3)+(s/(s^2+4^2))*sin(%pi/3);

fs2=syslin('c',fs);

fs1=csim('impulse',t,fs2);

subplot(2,1,1);

plot2d(t,ft,2);

xtitle('Enunciado');

xgrid;

subplot(2,1,2);

plot2d(t,fs1,1);

xtitle('Solucion');

xgrid;
representacion en el tiempo de la Transformada de Laplace con Scilab


Ejemplo 2.17 pag50 OGATA 4ed(Tranformada de Laplace)

Español
Vamos a resolver la siguiente ecuacion diferencial mediante scilab:
 

ecuacion diferencial segundo grado

 

\begin{displaymath}x(0)=0 \end{displaymath}

 

\begin{displaymath}\dot{x}(0)=0 \end{displaymath}

 

La Tranformada de Laplace quedaria:

Tranformada de Laplace


 

Con lo que nos quedaria:
 

Tranformada de Laplace


 

Vamos a obtener el desarrollo en fracciones simples mediante Scilab:

Programa en Scilab

s=%s

num=2;

den=s^3*(s^2+2*s+10);

g=syslin('c',num/den);

gf=tf2ss(g);

se=pfss(gf);

Resultado en Scilab:

 se  =
 
 
       se(1)
 
                        2  
    0.2 - 0.04s - 0.012s   
    --------------------   
              3            
             s             
 
       se(2)
 
    0.064 + 0.012s   
    --------------   
                2    
     10 + 2s + s

 

Con lo que el sistema nos quedaria:
 

Desarrollo en fracciones simples


 

Vamos a descomponer primero se(1) mediante scilab añadiendo mas lineas de codigo:

Lineas a añadir en Scilab

r=roots(denom(se(1)));

a(3)=horner(s^3*se(1),r(1));

a(2)=horner(derivat(s^3*se(1)),r(1));

a(1)=horner(derivat(derivat(s^3*se(1))),r(1))/2;

for k=1:3,
ds1(k)=a(k)/s^k,
end;

Resultado en Scilab del desarrollo de se(1)

 ds1  =
 
 
       ds1(1)
 
            
   -0.012   
   -------  
            
     s      
 
       ds1(2)
 
           
   -0.04   
   ------  
      2    
     s     
 
       ds1(3)
 
         
   0.2   
   ----  
     3   
    s
 
 
Con lo que la descomposicion de se1 nos queda:
 

descomposicion del primer termino

 

La descomposicion de se2 la obtendriamos:
 

decomposicion del segundo termino

 

Descomposicion del segundo termicon parte 2

 

Transformada inversa de Laplace

 

Con lo que la tranformada de Laplace nos quedaria:
 

resultado final

 

 

Páginas

Pin It
Subscribe to RSS - Transformada de Laplace